TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ( I ) TEMA 1.9 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA CARACTERÍSTICAS CONCRETAS DE UN PROBLEMA 1.- A veces no está claro cuál es la pregunta, a diferencia de los ejercicios. 2.- De entrada se desconoce cómo abordarlo. 3.- Para su resolución se requiere profundizar, reflexionar, relacionar; a diferencia de los ejercicios, que se resuelven aplicando conocimientos y mecanismos aprendidos. 4.- No se sabe cuánto tiempo puede llevar conseguir un camino para su resolución. 5.- Suele ser factible e interesante para personas de muy diferentes niveles; mientras un mismo ejercicio su resolución es trivial para personas de un nivel superior e imposible para personas que no han alcanzado el nivel que requiere el ejercicio. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. CONSEJOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.- Entiende bien todos los términos del problema, asegurándote que comprendes cada dato, cada frase, … 2.- Concéntrate al máximo, ya que resolver un problema es una actividad mental compleja. 3.- Ten paciencia y constancia, no abandonando a la primera dificultad. 4.- Resuelve de nuevo un problema, especialmente si has necesitado ayuda para resolverlo la primera vez. 5.- Reflexiona sobre otras formas de resolución. 6.- Sácales partido a los buenos problemas, pues muchos son una buena fuente de aprendizaje. Entre otras cosas puedes inventar otros parecidos, interrogarte sobre cómo sería si se cambiase tal dato, etc. 7.- Intercambia conclusiones con tus compañeros. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_1 Miriam ha realizado tres controles de matemáticas y la nota media de los tres ha sido 8,5. Si la nota media de los dos primeros es 8, y la nota media de los dos últimos es 9, halla la calificación de cada uno de los controles. Resolución Sea x = Calificación del primer control. Sea y = Calificación del segundo control. Sea z = Calificación del tercer control. Por la lectura detenida del enunciado: (x + y + z) / 3 = 8,5 (x + y) / 2 = 8 (y + z) / 2 = 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_1 Pasando los denominadores, tenemos el sistema: x + y + z = 25,5 x + y = 16 y + z = 18 Operando mediante Gauss: F2 – F1 x + y + z = 25,5 – z = – 9,5 y + z = 18 Permutando F2 con F3 y resolviendo: z = 9,5 en el tercer control. y + 9,5 = 18  y = 8,5 en el tercer control. x + 8,5 + 9,5 = 25,5  x = 25,5 – 18 = 7,5 en el primer control. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_2 En 3º ESO hay tres grupos de alumnos, A, B y C. Entre los tres suman un total de 80 alumnos. En A hay un alumno más que en B. En una determinada actividad se les suman a cada grupo 22 alumnos, resultando entonces que los alumnos del grupo B son el doble que los del grupo C. ¿Cuántos alumnos había inicialmente en cada grupo?. Resolución Sea x = Número de alumnos inicialmente en el grupo A Sea y = Número de alumnos inicialmente en el grupo B Sea z = Número de alumnos inicialmente en el grupo C Por la lectura detenida del enunciado: x + y + z = 80 x = y + 1 y + 22 = 2.(z + 22) Resultando el siguiente sistema a resolver: x + y + z = 80 x – y = 1 y – 2.z = 22 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_2 Teníamos el sistema: x + y + z = 80 x – y = 1 y – 2.z = 22 Operando mediante Gauss: F2 – F1 – 2y – z = – 79 F2 + 2.F1 – 5.z = – 35 Permutando F2 con F3 y resolviendo: z = 35 / 5 = 7 alumnos en el grupo 3ºC y – 2.7 = 22  y = 22 + 14 = 36 alumnos en el grupo 3ºB x + 36 + 7 = 80  x = 80 – 36 – 7 = 37 alumnos en el grupo 3ºA @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_3 Encargamos un mueble por el que pagaremos 1742 €, sin IVA. En su fabricación se utilizarán 15 m cuadrados de madera de tres tipos, A, B y C, a 55, 62 y 68 € el metro cuadrado respectivamente. Los metros cuadrados de madera de tipo A serán el doble de los de tipo B. Si del precio total 500 € es lo que cuesta la mano de obra y 350 € son los beneficios del comerciante, ¿ cuántos metros de cada tipo serán necesarios?. Resolución Sea x = Número de metros cuadrados de madera del tipo A Sea y = Número de metros cuadrados de madera del tipo B Sea z = Número de metros cuadrados de madera del tipo C Por la lectura detenida del enunciado: x + y + z = 15 x = 2.y 55.x + 62.y + 68.z + 500 + 350 = 1742 Resultando el siguiente sistema a resolver: x + y + z = 15 x – 2.y = 0 55.x + 62.y + 68.z = 892 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_3 Teníamos el sistema: x + y + z = 15 x – 2.y = 0 55.x + 62.y + 68.z = 892 Operando mediante Gauss: F2 – F1 y F3 – 55.F1 x + y + z = 15 – 3y – z = – 15 7.y + 13.z = 67 7.F2 y 3.F3 – 21.y – 7.z = – 105 21.y + 39.z = 201 Sumando a F3 la F23 y resolviendo: 32.z = 96  z = 3 metros cuadrados de tipo C. – 21.y – 7.3 = – 105  21.y = 105 – 21  21.y = 84  y = 4 m2 de tipo B, x + 4 + 3 = 15  x = 15 – 4 – 3 = 8 metros cuadrados de tipo A. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_4 El autobús de la Asociación Palentina de Estudiantes transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: Viajeros que pagan el billete entero, de 75 céntimos de euro, viajeros con bono de descuento del 20%, y estudiantes con bono del 40% de descuento. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 39,75 €. Se sabe que el número de estudiantes era el 75% del total de viajeros. Calcula el número de viajeros de cada tipo. Resolución Sea x = Número de viajeros que pagan 0,75 € el billete. Sea y = Número de viajeros que pagan (0,75 – 20%) € el billete. Sea z = Número de estudiantes que pagan (0,75 – 40%) €. Por la lectura detenida del enunciado: x + y + z = 80 0,75.x + (0,75 – 0,15).y + (0,75 – 0,30).z = 39,75 z = 0,75.(x + y + z) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA_4 Teníamos el sistema: x + y + z = 80 0,75.x + 0,60.y + 0,45.z = 39,75 0,75.x + 0,75.y – 0,25.z = 0 Operando mediante Gauss: F2 – 0,75.F1 y F3 – 0,75.F1 x + y + z = 80 – 0,15.y – 0,30.z = – 20,25 – z = – 60 Resolviendo: z = 60 viajeros estudiantes. – 0,15.y – 0,30.60 = – 20,25  0,15.y = 20,25 – 18   y = 2,25 / 0,15 = 15 viajeros con bono del 20% descuento. x + 15 + 60 = 80  x = 80 – 75 = 5 viajeros sin descuento alguno. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.