SEMINARIO MATEMÁTICA FINANCIERA UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA DECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO ESPECIALIZACIÓN EN GERENCIA FINANCIERA SEMINARIO MATEMÁTICA FINANCIERA MODERADORA ING.KATHERINE RINCÓN,MSC. Correo Electrónico: kyrc4@hotmail.com Blog: ingkatherinerincon.wordpress.com

Matemática Financiera Importancia de la Matemática Financiera Generalmente, las decisiones que se toman son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital. Así la matemática financiera implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Son un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas, toda estas decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de interés.

Toma de Decisiones La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la matemática financiera ayudan a la gente a tomar decisiones. Por lo tanto, en un análisis financiero los números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá.

“Dinero Llama a Dinero” A menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero, intrínsecamente esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original. La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo; éste es el concepto más importante de la matemática financiera

Conceptos Básicos Interés : Es el rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada (capital), el tiempo de duración del préstamo (plazo) y la tasa de interés aplicada. Tasa de Interés : Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año. Tiempo : Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio, la unidad de tiempo es el año. Periodo : Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.). Capital : Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente. Monto : Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el periodo, comúnmente se le denomina valor futuro. Anualidad : Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada cierto periodo.

Tasa de Interés y Tasa de Rendimiento El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés. El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor. El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

𝑇𝐴𝑆𝐴 𝐷𝐸 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐸𝑆 % = 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐸𝑆 𝐴𝐶𝑈𝑀𝑈𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑃𝑂𝑅 𝑈𝑁𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 𝑆𝑈𝑀𝐴 𝑂𝑅𝐼𝐺𝐼𝑁𝐴𝐿 X100% La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés. Por ahora, el periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año.

Un empleado solicita un préstamo de $10,000 el de mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada. Solución Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10,700 pagan un préstamo. Interés = $10,700 - $10,000 = $700 Tasa porcentual de interés == $700 x 100% == 7% anual

Tasa de rendimiento Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal. “Interés generado = cantidad total actual - cantidad original” El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR).

𝑇𝐴𝑆𝐴 𝐷𝐸 𝑅𝐸𝑁𝐷𝐼𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂 % = 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐸𝑆 𝐴𝐶𝑈𝑀𝑈𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑃𝑂𝑅 𝑈𝑁𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 𝑆𝑈𝑀𝐴 𝑂𝑅𝐼𝐺𝐼𝑁𝐴𝐿 X100% La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de periodo de interés, el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario. Aunque los valores numéricos de las ecuaciones anteriores son los mismos, el término tasa de interés pagada es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y tasa de retorno ganada es mejor desde la perspectiva del inversionista.

Inflación Una consideración económica adicional para cualquier estudio de la matemática financiera es la inflación. Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de la inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor de una moneda determinada.

El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del mercado. En palabras sencillas, las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa real de rendimiento más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. La inflación contribuye a que ocurra lo siguiente: La reducción del poder de compra. El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor). El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento. El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas. La reducción en la tasa de retomo real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas. En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y empresarial.

Terminología y símbolos Las ecuaciones y procedimientos de la MATEMÁTICA FINANCIERA emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra. P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC); unidades monetarias F= valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. también recibe el nombre de valor futuro (VF); unidades monetarias A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE);unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes n = número de periodos de interés; años, meses, días i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento diario t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días.

Interés simple Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro . Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto se toman importantes. El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera: Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés) “Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal”

Interés simple Monto Simple: El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses al capital, es decir: F = P+I Sustituyendo (5) en (6) , obtenemos que: F = P + Pnr = P (1 + nr) donde: F = Monto Simple P = Capital n = Plazo r = Tasa Nominal Problema: Calcular el monto de un capital de $189,000 , con una tasa de interés de 20% simple anual en un tiempo de 11 meses. Solución: P = $ 189, 000 r = 20% Anual n = 11 meses = 11/12 F = P(1+nr) = 189, 000 [1+(11/12)(0.20)] F = $ 223, 650.00

Interés compuesto En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera: Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés)

Interés Compuesto El valor futuro se obtiene por la capitalización de intereses el cual es el proceso por el que el interés generado, pasa a formar parte del capital, incrementando con ello el capital inicial. El concepto de capitalización, por lo tanto, lleva implícito el manejo de interés compuesto, es decir, F = P (1+i) 𝑛 donde: F = Valor Futuro (Monto) P = Valor Presente (Capital) i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazo (1+i) 𝑛 ó : factor de crecimiento.

Problema : Calcular el valor futuro a interés compuesto de 10 años de un capital de $7500 a la tasa de 10% anual capitalizado trimestralmente. Solución: P = $7, 500 i = 10% Anual cap/trimestre = 10,4% anual n= 10 años F = P (1+i) 𝑛 = 7500 (1+0,104) 10 F=$ 20172.14

Valor presente (capital) Es la cantidad que se debe invertir ahora para producir el valor futuro, el cual se puede calcular a partir de la formula P = F/ (1+i) 𝑛 donde: P = Valor Presente F = Valor Futuro i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazo (1+i) 𝑛 : factor de crecimiento El plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo. (La base: la unidad de medida es el periodo de capitalización).

Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento La tasa mínima atractiva de retorno es el porcentaje que se usa para hacer las equivalencias entre dinero de diferentes períodos; es la tasa de descuento derivada del costo de oportunidad del dinero; el dinero no debe invertirse en alguna alternativa si no puede tener rendimiento al menos tan grande como la TMAR, puesto que es razonable pensar que existan otras alternativas que si cumplen con esta condición. Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado del capital con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Por lo tanto, la desigualdad TIR ≥ TMAR ≥ costo del capital debe satisfacerse para un proyecto aceptado.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa. Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de financiero. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de sensibilidad. La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo y servicios computacionales.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas Flujo de efectivo neto = ingresos - desembolso = entradas de efectivo - salidas de efectivo Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. No es mas que una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. La dirección de las flechas del diagrama de flujo de efectivo resulta importante. Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo. Por el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo.

Factores de Pago Único (F/P y P/F) El factor fundamental en la matemática financiera es el que determina la cantidad de dinero que se acumula después de años (o periodos), a partir de un valor único presente con interés compuesto una vez por año (o por periodo). “Nota: interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés”

FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN El factor de fondo de amortización de una serie uniforme es el reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme: FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperación de capital.

Factores de Gradiente Aritmético (P/G y AG) Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. El símbolo G para los gradientes se define como: G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Tasas De Interés Nominal Y Efectiva Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de las finanzas personales. La tasa de interés nominal, “r”, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses.   𝒓=𝑻𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐)(𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐𝒔)

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: año, meses, trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera. Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas: r = 1.5% mensual x 24 meses = 36% por un periodo de 2 años Mayor que 1 mes = 1.5% mensual x 12 meses = 18% anual = 1.5% mensual x 6 meses = 9% por medio año = 1.5% mensual x 3 meses = 4.5% trimestral = 1.5% mensual x 1 mes = 1.5% mensual Igual a 1 mes = 1.5% mensual x 0.231 mes = 0.346% semanal Menor que 1 mes

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva ia' pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva Periodo de tiempo: es el periodo en el que se expresa el interés. Periodo de capitalización o composición (PC): es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición*).   Frecuencia de composición: es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t

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