DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Estructuras Algebraicas Prof: Haroldo Cornejo Olivarí

Leyes de composición Se dice que en A se ha definido una ley de composición interna u operación cuando se define una Función del producto cartesiano A x A en A de tal forma que el par de elementos (a, b) genere otro elemento c, tal que c también pertenece al conjunto A. Para representar el elemento imagen del par (a, b) se utiliza la notación c = a f b donde f es cualquier símbolo. Por ejemplo  ,  ,  ,  ,  ,  , 

PROPIEDADES

Asociativa Se dice que la ley de composición * es asociativa cuando para cualquier elementos a,b,c pertenecientes al conjunto A se verifica: (a * b) * c = a * (b * c) a +( b + c )= (a + b) + c a ( b  c )= (a  b)  c

Conmutativa Se dice que la ley de composición * es conmutativa cuando para cualquier elementos a,b,c pertenecientes al conjunto A se verifica: a * b = a * b a + b = b + a a  b = b  a

Elemento neutro Se dice que la ley de composición * posee elemento neutro cuando existe un elemento e de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica: a * e = a l! 0   / a + 0 = 0 + a = a El real 0 es llamado: elemento neutro aditivo. l! 1   / a  1 = 1  a = a El real 1 es llamado: elemento neutro multiplicativo.

Elemento Inverso Se dice que la ley de composición, que posee elemento neutro, es simetrizable cuando para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento Inverso a 1 de A tal que: a*a 1= e Donde e es el elemento neutro

a + (-a) = 0 a  a-1 = a  = 1 Elemento Inverso Para cada número real a, existe un real único llamado el inverso aditivo de a, y que se denota “–a” tal que:  a + (-a) = 0 Para cada número real a  0, existe un real único llamado el recíproco de a, (inverso multiplicativo) y que se denota por a-1 ó tal que:  a  a-1 = a  = 1

Distributiva entre dos operaciones Se dice que la ley de composición * es distributiva respecto de la operación ¤ cuando cualquiera que sean los elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: a * (b ¤ c)= ( a * b ) ¤ ( a * c )  a, b, c,  R , a  (b+c) = ab + ac

Estructuras Op. Propiedad Estructura   Cerrada Asociativa E. Neutro E. Inverso u opuesto { A ,  } Grupo Conmutativa { A ,  } Grupo Abeliano Cerrada Asociativa Distributiva respecto a la operación O { A , ,  } Anillo { A , ,  } Anillo Conmutativo Conmutativa { A , ,  } Anillo Conmutativo con unidad E. Neutro { A , ,  } Cuerpo E. Inverso (para c/elem. Distinto del neutro de

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