Conferencia Aplicaciones Lineales.

Sumario Definición de aplicación lineal Matriz asociada a una aplicación lineal. Matrices semejantes. Imagen de un vector por una aplicación lineal. Imagen de un vector por la matriz asociada a una aplicación lineal. Matriz cambio de base. Relación entre dos matrices semejantes.

Objetivos Definir los conceptos de: –aplicación lineal. –matriz asociada aplicación lineal. –coordenadas de un vector en una base. –matriz cambio de base Algoritmizar los procedimientos para: – determinar la matriz asociada a una aplicación lineal. –determinar la matriz cambio de base –determinar la relación entre dos matrices semejantes

Sean E y F dos espacios vectoriales, y f una aplicación de E en F Si x 1 y x 2 son elementos de E y 1 y 2 números reales; Por ser E un espacio vectorial la combinación lineal 1 x x 2 es un elemento de E

Sean E y F dos espacios vectoriales, y f una aplicación de E en F Las imágenes f(x 1 ) y f(x 2 ) pertenecen ambas a F, la combinación lineal 1 f(x 1 ) + 2 f(x 2 ) pertenece a F por ser F también un espacio vectorial.

Aplicaciones Lineales Sean E y F dos espacios vectoriales, y f una aplicación de E en F Si x 1 y x 2 son elementos de E y 1 y 2 números reales; f es una aplicación lineal (homomorfismo), si se cumple que: f( 1 x x 2 ) = 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 ) Para todos x 1 y x 2 elementos de E y 1 y 2 números reales

Teorema 1 Si una aplicación es lineal, entonces la imagen por f del vector nulo de E, es el vector nulo de F. Si f es lineal, entonces, f(0)=0, si f es lineal f(  x)=  f(x),, para  = 0 obtenemos f(0)=0

En particular cuando el espacio de partida y de llegada son iguales, es decir cuando f: E  E, se dice que f es un endomorfismo y se denota por end E

Teorema 2 (Pág. 369) Imagen de un vector por una aplicación lineal. Sean una aplicación lineal f: E  F y A= {a 1, a 2, …, a n } una base de E; entonces la imagen de cualquier vector x de E se puede expresar como combinación lineal de los vectores del sistema {f(a 1 ),f(a 2 ), …, f(a n )} de F, formado por la imagen por f de cada uno de los vectores de la base A de E.

Ejemplo Dada la aplicación lineal: f: R 2  R 3, A = {(1,0), (2,1)}, una base de R 2 y f (1,0) = (2,0,1), f (2,1) = (3,1,3).. Hallar f (2,2).

Matriz asociada a una aplicación lineal. Procedimiento para hallar “una” matriz asociada a una aplicación lineal.