Sistemas de Ecuaciones

TRABAJO PRACTICO Nº 8 SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES 1) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres cobraba el menor precio por unidad y no pudo recordarlo. Después de mucho pensar, volcó lo que recordaba en tres matrices : a) Efectúe el producto A  X b) Con el producto A  X efectuado, componga la ecuación matricial A  X = B c) Halle los precios unitarios. F1F2F3 Lunes Martes02550 Miércoles26408 precio Fotocopiadora 1x Fotocopiadora 2Y Fotocopiadora 3z gasto Lunes2,80 Martes2,75 Miércoles2,56 la matriz

2) Resolver en R, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando: a). Teorema de Cramer y b) Regla de Cramer 3) Dados los sistemas lineales : a)Clasificarlos b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y, si es posible, determinar el conjunto solución de cada uno de ellos.

4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos : 5) Determinar, si existen los valores de m  R, tales que el sistema Sea: a) compatible determinado b)Incompatible c) Compatible indeterminado 6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?

Producto de Matrices Repasemos en el trabajo Práctico Nº 7 Matriz InversaDeterminantes Operaciones elementales por Gauss - Jordan 12a2b3a3b3c3d 4a4b567a7b Teorema de Rouché Frobenius

1) Para multiplicar A x X, primero consideramos de qué clase es cada una de las matrices; la matriz A que tiene 3 filas y 3 columnas es clase 3x3 la matriz X que tiene 3 filas y 1 columna es clase 3x1 A (3x3) x X (3x1) = B (3x1) Coinciden el número de columnas de A con las filas de X A x X 15x + 20y + 40z 0x + 25y + 50z 26x + 40y + 8z

Si A  X = B A  X = B se puede escribir como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. Vamos a usar el método de los determinantes A  X es una matriz de 3 filas y 1 columna, igual que B

 Es el determinante principal, conformado por los coeficientes de las incógnitas ordenados en filas y columnas  i son los determinantes que resultan de reemplazar los coeficientes de la variable i por la columna de los resultados del sistema en el determinante  Con todos los valores de  conocidos buscaremos

Resolvemos cada uno de los determinantes Agregamos las dos primeras filas Y sumamos los productos de las diagonales A esto le restamos la suma del producto de las contradiagonales Agregamos las dos primeras filas Y sumamos los productos de las diagonales A esto le restamos la suma del producto de las contradiagonales

La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04 La fotocopiadora 2 cobra $ 0,03 La fotocopiadora 3 cobra $ 0,04 Misma técnica para resolver  y y  z

Teorema de Rouché Frobenius En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados según el mismo orden del sistema Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados de l sistema como última columna, tenemos la matriz ampliada (A´) Para operaciones elementales y determinantes ver TP Nº 7 3a3b3c3d4a4b567a7b

La matriz A es de clase (m x n)La matriz A´ es de clase m x (n+1) Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP7) El sistema tiene solución si además El sistema es Compatible determinado admite solución única El sistema es Compatible indeterminado admite infinitas soluciones El sistema es Incompatible NO tiene solución 3a3b3c3d4a4b567a7b

2 a) El teorema de Cramer se aplica en el siguiente razonamiento Si de manera que en el sistema de ecuaciones donde la matriz de coeficientes es ordenado resulta Las incógnitas conforman la matriz y la columna de términos independientes conforma la matriz Buscamos ahora la inversa de la matriz A Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan 2 b 2 b

Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una matriz unidad de igual clase que A al la derecha AI Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices cuando tengamos a la izquierda una matriz unidad, a la derecha habrá quedado la matriz inversa de A A -1 IA b 2 b

I = = A -1 2 b 2 b

2 b 2 b

Conocida A -1 efectuamos el producto La matriz X esDe los resultado obtenidos tenemos que Te propongo que verifiques en la consigna que estos resultados son correctos. 2 b 2 b

2 b) La Regla de Cramer es la aplicación generalizada para n incógnitas del método de los determinantes Para resolverordenamos el sistemay lo clasificamos Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas conformamos cada uno de los determinantes

Y resolvemos cada uno de los determinantes Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0 Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del elemento que reemplazamos multiplicamos por el elemento que reemplzamos (0 en el primer caso) y luego por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna que contiene el elemento “elegido”

Resolvemos  x por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Resolvemos  y por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Resolvemos  z por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Resolvemos  z por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos y el último son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Verificamos los resultados

3 a) Para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 d 3 d 3 c 3 c 3 b 3 b

El rango de la matriz coeficientes es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3 el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices Sistema compatible determinado Te sugerimos que verifiques estos resultados... (admite un solo conjunto solución) 3 d 3 d 3 c 3 c 3 b 3 b

3 b) Para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas escribimos el sistema completo y ordenado Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 d 3 d 3 c 3 c

El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º columna, pero ese elemento es 0 (no puede ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0) pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) Sistema incompatible Este sistema no tiene solución 3 d 3 d 3 c 3 c

3 c) Para resolver sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 d 3 d

El próximo pivote debe elegirse en la 3 ra fila 3 ra ó 4 ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) 3 d 3 d

Si Sistema compatible Este sistema admite infinitas soluciones pero Sistema compatible indeterminado despejamos y despejamos x confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones, asignándole valores a z y t, encontramos x e y xyzt S S S Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas halladas 3 d 3 d

3 d) Para resolver sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes El próximo pivote debe elegirse en la 2 da fila 2 da, 3 ra, 4 ta ó 5 ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) Sistema incompatible Este sistema no tiene solución y la matriz ampliada

4 a) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal Sabiendo que el sistema homogéneo será siempre compatible Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes de la trivial (todas las variables igual a cero) sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas 4 b 4 b

El rango de la matriz de coeficientes es 3 Por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre) Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial 4 b 4 b

4 b) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal ordenamos el sistema 12 El próximo pivote debe elegirse en la 3 ra fila 3 ra columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) las operaciones elementales posibles concluyeron

Recomponemos el sistema de ecuaciones, proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z El rango de la matriz de coeficientes es 2 por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre) Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial Este sistema admite infinitas soluciones Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z, encontramos x e y xyz S1S S2S2 2 S3S3 000

5) Para determinar, si existen los valores de m  R, tales que el sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c) Compatible indeterminado Efectuamos transformaciones elementales por Gauss-Jordan

Transcribimos el resultado de la última transformación Podemos apreciar claramente que: Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila Por lo que si m = 1Sistema incompatible Para cualquier otro valor de m Sistema compatible determinado

6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ? Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos 2) El promedio de sus edades es 18,5. 3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años Si la cantidad de estudiantes que tiene 18 años es x 19 años es y 20 años es z multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de estudiantes que tienen esas edades y sumamos los productos y dividimos por el total de estudiantes para hallar el promedio de las edades Con las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que ordenado queda :

Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego de las transformaciones elementales resultan: El rango de la matriz de coeficientes es 3 El rango de la matriz ampliada también es 3 el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices Sistema compatible determinado Te sugerimos que verifiques estos resultados... (admite un solo conjunto solución) Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ? Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas : que sean igualesque no sean iguales Si los rangos no son iguales, lo que puede suceder en un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas El sistema es incompatible no tiene solución Si los rangos son iguales, con seguridad, al ser menor el número de ecuaciones que el número de incógnitas El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples soluciones 7 b 7 b

7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y además es homogéneo Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser diferentes, luego los rangos son iguales Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial

Lograremos cosas importantes Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo esa, puede ser la más feliz ó la más amarga de tus horas. Pablo Neruda Yo creo bastante en la suerte. He constatado que cuanto más trabajo, más suerte tengo. Thomas Jefferson