SUPERFICIES CUÁDRICAS CÁLCULO IV (ING) Prof. Antonio Syers

Definición Una Superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es: Donde A,B,C,…;J son constantes, pero usando traslaciones y rotaciones la ecuación se puede llevar a una de las dos formas canónicas siguientes Cálculo IV (ING)

Tipos de cuádricas A) Elipsoides B.1) Hiperboloide de una hoja B) Hiperboloides B.2) Hiperboloide de dos hoja C) Conos D.1) Paraboloide elíptico D) Paraboloides D.2) Paraboloide hiperbólico E) Cilindros Cálculo IV (ING)

Elipsoide La superficie cuádrica con la ecuación Se denomina Elipsoide, ya que sus trazas son elipses Trazas: Cálculo IV (ING)

Elipsoide X Y Z Elipse Plano paralelo al YZ Cálculo IV (ING)

Hiperboloides La superficie cuádrica con la ecuación Se denomina hiperboloide de una hoja. Cálculo IV (ING)

Hiperboloides Z Plano paralelo al XY Y Plano paralelo al YZ X Cálculo IV (ING)

Hiperboloides La superficie cuádrica con la ecuación Se denomina Hiperboloide de dos hoja. Trazas: Cálculo IV (ING)

Hiperboloides Z Y X Plano paralelo al XY Plano paralelo al YZ Cálculo IV (ING)

Hiperboloides Cálculo IV (ING)

Paraboloides La superficie cuádrica con la ecuación Se denominan paraboloides elipticos. Sus trazas son: Cálculo IV (ING)

Paraboloides X Y Z Plano paralelo al XZ Plano paralelo al XY Cálculo IV (ING)

Paraboloides La superficie cuádrica que tiene por ecuación Se denomina paraboloide hiperbólico Cálculo IV (ING)

Paraboloides X Y Z Plano paralelo al XZ Plano paralelo al YZ Cálculo IV (ING)

Cálculo IV (ING)

Conos La superficie cuádrica que tiene por ecuación Se denomina Cono Cálculo IV (ING)

Cono Cálculo IV (ING)

Conos X Y Z Plano paralelo al XY Plano YZ Cálculo IV (ING)

Cilindros Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo: Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z Cálculo IV (ING)

Cilindros En el plano: En el Espacio: x Y x y z a Cálculo IV (ING)

Cilindros x y z x z a Cálculo IV (ING)

Paraboloide hiperbólico Cuadro Resumen Superficie Ecuación Diferencia Observación Elipsoide Hiperboloide 2 hojas Hiperboloide 1 hoja Paraboloide Paraboloide hiperbólico Cono Cilindros Cálculo IV (ING)