Taller de Geometría Retroalimentación evaluación final PPTCTG001TG33-A16V1

Revisión prueba final Pregunta 1 Una pequeña empresa tiene ocho clientes, ubicados en los vértices de un octágono regular, donde la empresa representa el centro de este. ¿De qué es el menor ángulo que se forma entre el tramo que va desde un cliente a la empresa y el tramo desde esta a un cliente consecutivo al anterior?   A) Recto. B) Agudo. C) Completo. D) Extendido. E) Obtuso.

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta B Al esquematizar la situación planteada resulta:      Donde el punto central representa a la empresa y los vértices corresponden a los clientes. Al dividir la circunferencia central en ocho partes iguales, cada una de ellas tiene un ángulo que mide = 45°, que corresponde a un ángulo agudo (menor que 90°). Por lo tanto, entre el tramo que va desde un cliente a la empresa y el tramo que va desde esta a un cliente consecutivo al anterior se forma un ángulo agudo.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 2 En el triángulo ABC de la figura, D es punto medio del trazo AB. Si A1 corresponde al área del triángulo ADC y A2 al área del triángulo DBC, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?   A) A1 >A2 B) A1 < A2 C) A1 = A2 D) A1 = 2A2 E) 2A1 = A2

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta C Como D es punto medio del trazo AB, entonces , lo que significa que las bases de los triángulos A1 y A2 son iguales. Además, como ambas bases están en la misma recta, entonces las alturas bajadas desde el vértice C de ambos triángulos coinciden en el segmento CA. O sea, las alturas de los triángulos A1 y A2 también son iguales.   El área de un triángulo se calcula como , por lo cual si dos triángulos tienen bases congruentes y alturas congruentes, entonces sus áreas tienen igual medida. Por lo tanto, es verdadero que A1 = A2.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 3 Según los triángulos de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?     I) El perímetro del triángulo ABC y del triángulo DEF son iguales a 18 cm. II)Los ángulos BAC, EDF y HGI son iguales. III) Los tres triángulos poseen la misma área. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta A El triángulo ABC tiene los tres lados iguales, por lo cual corresponde a un triángulo equilátero de lado 6. El triángulo DEF tiene dos ángulos de 60ᵒ, es decir el tercero también mide 60ᵒ (para completar 180ᵒ), entonces también corresponde a un triángulo equilátero de lado 6. El triángulo GHI solo tiene dos lados conocidos, por lo cual no puede conocerse la medida de sus ángulos ni del tercer lado. Luego:   Verdadero, ya que ambos son triángulos equiláteros de lado 6, o sea su perímetro es (6 + 6 + 6) = 18. II) Falsa, ya que si bien se sabe que los ángulos BAC y EDF son iguales (60ᵒ), no se conoce ni se puede calcular la medida del ángulo HGI. III) Falsa, ya que si bien se sabe que los triángulos ABC y DEF tienen igual área, por ser congruentes, no se conoce ni se puede calcular el área del triángulo GHI. Por lo tanto, solo la afirmación I es siempre verdadera.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 4 En un tipo de aerolínea, existen dos tipos de aviones uno para los vuelos nacionales y otro para los internacionales. Este último, mostrado en la figura, posee dimensiones que triplican a las dimensiones de los aviones para vuelos nacionales. Rodrigo es el encargado de gestionar las operaciones de desembarque, por lo tanto, debe determinar las dimensiones de las escaleras a utilizar en función del tipo de avión, siendo todas semejantes entre sí. ¿Qué medidas debe tener, respectivamente, el alto y el ancho de la escalera para un avión nacional?    0,8m y 0,6m 1m y 3m 1,2m y 0,9m 4,8m y 3,6m 7,2m y 5,4m

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta A Dado que el avión de vuelos internacionales posee dimensiones que triplican a las dimensiones del avión de vuelos nacionales, entonces las dimensiones de este último son un tercio de las dimensiones del primero.   Si el alto de la escalera de un avión para vuelos internacionales mide 2,4 metros, entonces el alto de la escalera de un avión para vuelos nacionales mide 2,4 : 3 = 0,8 m. Por otro lado, si el ancho de la escalera de un avión para vuelos internacionales mide 1,8 metros, entonces el ancho de la escalera de un avión para vuelos nacionales mide 1,8 : 3 = 0,6 m. Por lo tanto, el alto y el ancho de la escalera de un avión para vuelos nacionales deben medir, respectivamente, 0,8 m y 0,6m.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 5 Sea un triángulo obstusángulo de lados a, b y c, siendo c el lado mayor. ¿Cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?   A) a2 + b2 = c2 B) a2 + b2 > c2 C) a2 + b2 < c2 D) a2 – b2 > c2 E) (a – b) 2 < c2

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta C Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo mayor que 90ᵒ. Si comparamos dos triángulos con dos parejas de lados congruentes (a y b), uno de ellos rectángulo y el otro obtusángulo, como muestra la figura:    Se cumple que:   FE < RQ (Elevando al cuadrado) FE² < RQ² (Reemplazando FE² = DE² + DF², por el teorema de Pitágoras) DE² + DF² < RQ² (Reemplazando las variables indicadas) a² + b² < c² Por lo tanto, en un triángulo obtusángulo es verdadero que a² + b² < c². D E F P Q R a b c

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 6 Un piloto de aerolínea comercial, debe volar desde la ciudad de Santiago a Concepción en línea recta y sin detenerse. En el diagrama, las líneas horizontales son llamadas paralelos y las líneas verticales son llamadas meridianos. Si entre paralelos y meridianos hay 100 km, ¿cuántos kilómetros recorrerá el avión en este viaje?   A) 250 km B) 500 km C) 700 km D) 1.400 km E) 2.500 km

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta B Esquematizando la situación resulta:   Aplicando el teorema de Pitágoras: x² = 300² + 400² x² = 90.000 + 160.000 x² = 250.000 (Aplicando raíz cuadrada) x = 500 Por lo tanto, el avión recorrerá 500 km en este viaje. 300 km 400 km x

Revisión prueba final Pregunta 7 ¿Cuántos metros de cuerda se necesitan para formar las letras X y V de la figura, respectivamente?   25 m y 26 m 25 m y 52 m 35 m y 44 m 50 m y 52 m 50 m y 26 m

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta D Esquematizando la situación resulta:   Aplicando el teorema de Pitágoras en la X: p² = 15² + 20² p² = 225 + 400 p² = 625 (Aplicando raíz cuadrada) p = 25 Como son dos segmentos de esa medida, entonces para formar la X se necesitan 50 metros de cuerda. p h

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta D Aplicando el teorema de Pitágoras en la V: h² = 10² + 24² h² = 100 + 576 h² = 676 (Aplicando raíz cuadrada) h = 26 Como son dos segmentos de esa medida, entonces para formar la V se necesitan 52 metros de cuerda.   Por lo tanto, para formar las letras X y V de la figura se necesitan 50 m y 52 m de cuerda, respectivamente.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 8 El alcalde de una ciudad desea construir un teleférico que una las cumbres de los cerros A y B mediante un cable, como muestra la figura. Si las alturas de los cerros son 2 km y 5 km, respectivamente, ¿cuántos kilómetros de cable se necesitarán?   2 3 4 5 Faltan datos para determinarlo.

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta D Esquematizando la situación resulta:   Según el teorema de Euclides, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Aplicando el teorema de Euclides en el triángulo menor  4·x = 2²  x = 1. x y 5 2

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta D Aplicando el teorema de Euclides en el triángulo mayor  y· = 5²  y = 3.   Luego, las medidas son: Aplicando el teorema de Pitágoras: m² = 3² + 4² m² = 9 + 16 m² = 25 (Aplicando raíz cuadrada) m = 5 Por lo tanto, se necesitarán 5 kilómetros de cable. 3 m 2 1 4

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 9 En la figura se muestra un triángulo equilátero, el cual se ha dividido en nueve triángulos equiláteros congruentes más pequeños. ¿Cuántos trapecios distintos se forman en la figura?   A) 27 B) 18 C) 15 D) 9 E) 6

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta B Si se enumeran los triángulos como muestra la figura, entonces se forman los siguientes trapecios:   * 6 de tres triángulos en el hexágono central (234, 348, 487, 678, 267 y 623) * 2 de tres triángulos con el triángulo superior (132 y 134) * 2 de tres triángulos con el triángulo inferior izquierdo (562 y 567) * 2 de tres triángulos con el triángulo inferior derecho (789 y 489) * 3 de cinco triángulos (13265, 13489 y 56789) * 3 de ocho triángulos (23456789, 13265487 y 26713489) Por lo tanto, en total se forman (6 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3) = 18 trapecios distintos en la figura. 1 3 2 4 5 6 7 8 9

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 10 Francisca va a dar un paseo en su bicicleta, cuyas ruedas tienen un radio de 28 cm. Si en total recorre 1,68 km, ¿cuántas vueltas completas dio cada rueda de su bicicleta, considerando π = 3?   A) 1.000 B) 4.000 C) 10.000 D) 40.000 E) 100.000

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta A La distancia recorrida por la bicicleta por cada vuelta de la rueda corresponde al perímetro de la rueda, que es 2π·radio = 2·3·28 cm = 168 cm. Luego, la distancia total recorrida se obtiene multiplicando esta distancia por el número de vueltas que da la rueda. O sea:   Distancia total = Distancia una vuelta · Número de vueltas (Reemplazando) 1,68 km = 168 cm · Número de vueltas (Transformando) 1.680 m = 1,68 m · Número de vueltas (Despejando) = Número de vueltas 1.000 = Número de vueltas Por lo tanto, cada rueda de la bicicleta dio 1.000 vueltas.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 11 El profesor Manuel premió a su curso por obtener los mejores resultados del colegio en el examen de Lenguaje. Para ello, invitó a sus alumnos a comer pizzas medianas y grandes, las cuales poseen las siguientes características: Pizza grande: está cortada en 8 trozos iguales y tiene un radio de 25 cm. Pizza mediana: está cortada en 6 trozos iguales y tiene un radio de 20 cm.   ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Comerán más pizza si eligen dos pizzas grandes en vez de tres pizzas medianas. La mitad del área de la pizza grande excede en 112,5π cm2 a la mitad del área de la pizza mediana. El perímetro de la pizza mediana tiene 10π cm menos que el perímetro de la pizza grande. Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta E Verdadera, ya que si se comparan las áreas, el área total de dos pizzas grandes es 2·π·radio² = 2·π·25² = 2·π·625 = 1250π cm², y el área total de tres pizzas medianas es 3·π·radio² = 3·π·20² = 3·π·400 = 1.200π cm².   Verdadera, ya que si se compara las áreas, la mitad del área de la pizza grande es ·π·radio² = ·π·25² = · π·625 = 312,5π cm², y la mitad del área de la pizza mediana es ·π·radio² = ·π·20² = ·π·400 = 200π cm². Luego, su diferencia es (312,5π – 200π) = 112,5π cm². III) Verdadera, ya que si se compara los perímetros, el perímetro de una pizza grande es 2·π·radio = 2·π·25 = 50π cm, y el perímetro de una pizza mediana es 2·π·radio = 2·π·20 = 40π cm. Luego, su diferencia es (50π – 40π) = 10π cm. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 12 Según el triángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?   A) B) C) D) E)

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta C Según el dibujo, el segmento que mide x es paralelo al segmento que mide y, ya que ambos forman el mismo ángulo con el segmento AB, sin embargo se desconoce si el segmento que mide z sea paralelo con los anteriores, ya que no se indica. Luego, no se puede aplicar proporcionalidad con el segmento que miden z, d y a.   Las alternativas A, B, D y E proponen proporcionalidades basadas en estos dos segmentos, por lo cual deben descartarse. La alternativa C, en cambio, utiliza segmentos donde sí se puede aplicar el teorema de Thales, ya que existe paralelismo. Por lo tanto, la afirmación verdadera es

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 13 En la figura se muestra la ubicación de cuatro ciudades colineales A, B, C y D. Si la razón entre las distancias AB y BC es 3 : 4 y entre las distancias BD y DC es 5 : 3, entonces ¿en qué razón están las distancias AD y DC?   13 : 6 11 : 3 11 : 6 8 : 3 8 : 6

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta B Escribiendo la segunda razón en términos de una constante de proporcionalidad:  BD = 5k DC = 3k   Planteando la primera razón en términos de k:     AB = = 6k Planteando la razón pedida en términos de k: Por lo tanto, la razón entre las distancias AD y DC es 11 : 3.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 14 En el tablero de ajedrez que aparece en la figura, un caballo (pieza del ajedrez) se mueve inicialmente desde B1 hasta C3. Luego, se desplaza desde C3 hasta D5 y finaliza el juego en la posición F4. ¿Cuál es el vector de traslación que describe el movimiento del caballo, desde su posición inicial a su posición final?   ( – 4, – 3) ( 2, – 1) (2, 4) (3, 1) (4, 3) E

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta E Al esquematizar los movimientos descritos resulta:      Luego, desde la posición inicial a la posición final, el caballo se ha movido cuatro unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba. Por lo tanto, el vector de traslación que describe el movimiento del caballo, desde su posición inicial a su posición final, es (4, 3). E

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 15 Patricia visita una galería donde el techo de los pasillos está cubierto completamente de espejos, tal como muestra la figura. ¿Qué distancia aparente hay entre Patricia y su reflejo en el espejo?   8 m 6,2 m 4,4 m 4 m 2, 2 m

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta C Al reflejarse una imagen en un espejo plano, la imagen virtual se forma a la misma distancia del espejo que la imagen original. Como la persona mide 1,8 m y el espejo está a 4 m del suelo, entonces la distancia entre la persona y el espejo es de 2,2 m.      Por lo tanto, la distancia aparente entre Patricia y su imagen virtual es 4,4 m. 2,2 m

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 16 Si la arista de un cubo mide 2p cm, ¿cuál de las siguientes alternativas representa su área y volumen, respectivamente?   A) 24 p2 cm2 y 16 p3 cm3 24 p2 cm2 y 8 p3 cm3 16 p2 cm2 y 4 p3 cm3 16 p2 cm2 y 8p3 cm3 4 p2 cm2 y 8 p3 cm3

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta B El área de un cubo corresponde a la suma de las áreas de las caras que lo forman, que son seis cuadrados. Luego, el área de un cubo de arista 2p cm es 6·(2p)² = 6·4p² = 24p² cm2.   El volumen de un cubo corresponde al cubo de su arista. Luego, el volumen de un cubo de arista 2p es (2p)³ = 8p³ cm3. Por lo tanto, el área y el volumen son 24p² cm2 y 8p³ cm3, respectivamente.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 17 En la figura, se muestran tres torres con monedas de $100. La primera tiene 15 monedas y las otras dos tienen 10 monedas cada una. Si cada moneda tiene un grosor de a mm y un radio de b mm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?        El volumen de la primera torre es de ab2π mm3. El volumen de la primera torre es mayor en 5ab2π mm3 que el volumen de la segunda torre. El volumen de la segunda y tercera torre son iguales. Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta D El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura, independiente de si se trata de un cilindro recto u oblicuo (inclinado). En este caso, el área de la base de las tres torres es πb² mm², y la altura es igual a 15a mm en la primera torre y 10a mm en las otras dos. Entonces, el volumen de la primera torre es 15ab²π mm³ y el volumen de la segunda y tercera torre es 10ab²π mm³. Luego:   I) Falsa, ya que dicho volumen corresponde a una sola moneda. II) Verdadera, ya que su diferencia es (15ab²π – 10ab²π) = 5ab²π mm³. III) Verdadera, ya que tienen igual radio de la base e igual altura. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 18 Nicolás desea pavimentar su patio, el cual tiene un largo de 10 metros. El constructor le recomienda que el pavimento tenga una cierta pendiente decreciente para evitar la acumulación de agua. Si la altura de cemento en un extremo del patio es de 40 cm y en el otro de 10 cm, entonces ¿con qué pendiente se pavimentó?   A) – 4 B) – 3 C) – 0,3 D) – 0,04 E) – 0,03

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta E Esquematizando la situación resulta:   La pendiente entre dos puntos corresponde a la razón entre la diferencia de posición vertical y la diferencia de posición horizontal entre los puntos. En este caso, la diferencia de posición vertical es – 30 cm (pendiente decreciente) y la diferencia de posición horizontal es 1.000 cm. Luego, la pendiente entre el punto más alto y el más bajo es = – 0,03.  Por lo tanto, el patio se pavimentó con una pendiente de – 0,03. 10 cm 30 cm 10 m = 1.000 cm

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 19 Las coordenadas en el espacio de un hombre que sale a cazar son (1, 1, 1). Al disparar, alcanza a un ave que está ubicada en las coordenadas (4, 4, 4). ¿Qué distancia recorrió la bala?   A) 3 B) 4 C) D) E)

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta D Como las coordenadas del hombre son (1, 1, 1) y las coordenadas del ave son (4, 4, 4), entonces puede considerarse que ambos se encuentran en vértices opuestos de un cubo de arista 3. Luego, la distancia entre ellos sería igual a la longitud de la diagonal del cubo.      La diagonal de un cubo se calcula como la arista multiplicada por . Por lo tanto, la distancia que recorrió la bala es . x y z hombre ave 3

Revisión prueba final Revisión prueba final Pregunta 20 Javier, el cartero, parte desde la oficina de correos a entregar dos paquetes, según lo explica la figura. Si cada cuadrado del mapa representa 1 unidad, ¿cuál es el vector resultante que describe su desplazamiento total?   (– 1, – 8) (3, – 4) (3, 4) (5, 5) (8, 1)

Revisión prueba final Respuesta Alternativa correcta E Como resultado final del recorrido, desde la posición inicial a la posición final, el cartero se ha movido ocho unidades a la derecha y una unidad hacia arriba.    Por lo tanto, el vector de traslación que describe el desplazamiento total del cartero es (8, 1).