Analisis de Regresion Para dos Variables

1.Estamos interesados en explicar y cuantificar la relación causal entre la variable y, y la variable x, y = f(x). 2.Predecir el valor de una variable y, basado en el valor de otra variable x. Estos dos aspectos los responderemos con el modelo de regresión= E(y|x). Por que??? Objetivo del Analisis de Regresion

y = Euros gastados en alimentos por semana. x = renta familiar del consumidor por semana. Supongamos que la relacion entre x y el valor esperado de y|x sea lineal: E(y|x) = f(x) =  1 +  2 x = PLO(y|x) Cada media condicionada E(y|x) es una funcion de x. Esta ecuacion se conoce como la recta de regresion poblacional (RRP) o MODELO de REGRESION LINEAL. Gastos Alimenticios Semanales

f(y|x=80) y  y|x=80 Probabilidad Condicional f(y|x=80) del Gasto Alimenticio dada una renta de x=€80.

f(y|x) f(y|x=80) y  y|x=80 f(y|x=100)  y|x=100 Probabilidad Condicional f(y|x=80) del Gasto Alimenticio dada una renta de x=€80 y x=€100.

Y X E(y|x i ) Distribucion de Y dado X=120 Esperanza Condicional Recta de Regresion Poblacional

{ 11 xx  E(y|x) E(y|x) Consumo Medio Y X (renta) E(y|x)=  1 +  2 x 2=2=  E(y|x) xx Modelo Econometrico: Modelo de Regresión (E(y|x). Si es lineal coincide con el PLO(y|x). En caso contrario…..???? constante pendiente

Especificacion Estocastica de la RRP Dado un nivel de renta X i, el consumo familiar se concentra alrededor del consumo medio de todas las familias con nivel de renta X i.. Es decir alrededor de su media condicional, E(Y|Xi). La desviacion de un individuo Y i es: u i = Y i - E(Y|X i ) o Y i = E(Y|X i ) + u i o Y i =  1 +  2 X i + u i Error estocastico

El Termino de Error y es una variable aleatoria compuesta de dos partes (suponga x fija): I. Componente sistematico: E(y) =  1 +  2 x Esta es la media de y. II. Componente aleatorio: u = y - E(y) = y -  1 -  2 x Denominado error. Uniendo E(y) y u obtenemos el modelo: y =  1 +  2 x + u

Razones para la existencia de u Imprecision de la teoria economica Datos no disponibles Efecto directo vs efecto indirecto Comportamiento humano es intrinsecamente aleatorio Deficientes variables “proxy” Principio de la Parsimonia (“La navaja de Occam”) Omision de variables relevantes Mala especificacion de la forma funcional

Relacion entre y, u y la recta de regresion verdadera (poblacional)... y4y4 y1y1 y2y2 y3y3 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 } } { u1u1 u2u2 E(y|x)=  1 +  2 x x y (RRP) o PLO(Y|X) E(y|x 2 ) y2y2 ^

y =  1 +  2 x + u Minimiza la varianza del error: E(u) 2 = E( y i -  1 -  2 x i ) 2 = f (  1,  2 ) u = y -  1 -  2 x Calculo de los coeficients  1,  2

Minimiza c.r.a.  1 y  2 : f (  1,  2 ) = E( y -  1 -  2 x ) 2 = - 2 E  ( y -  1 -  2 x ) = - 2 E  x ( y -  1 -  2 x ) f()f() 11 f()f() 22 Iguala estas derivadas a cero y resuelve dos ecuaciones con dos incognitas:  1  2

f(.)f(.) f(.)f(.) ii ii... Minimizar c.r.a.  1 y  2 : f (  ) =  ( y i -  1 -  2 x i ) 2  f(.)f(.) ii < 0   f(.)f(.) ii > 0  f(.)f(.) ii = 0

CPO para minimizar f (.) = - 2 E  ( y -   1 -   2 x ) = 0 = - 2 E  x ( y -   1 -   2 x ) = 0 f()f() 11 f()f() 22 Cuando estos dos terminos se igualan a cero,  1 y  2 se convierten en   1 y   2 porque ya no representan cualquier valor de  1 y  2 sino los valores especificos que corresponden al minimo de f (  ).

Cov(y, x) V(x)   2 =    = E( y) -   2 E( x) Despejando las dos incognitas (Hacerlo como ejercicio)

Algunas cuestiones para ir calentando motores: (1)Pensad en la interpretacion geometrica de las condiciones de primer orden que definen los parametros    y   (2) Intentar escribir las condiciones de primer orden para el caso de que haya un segundo regresor. (3) Que serían ahora los parametros (coeficientes)      y   

GRANDES EXITOS de la REGRESION!!!!! LOS 40 PRINCIPALES de la ECONOMETRIA

LOS DOS CLASICOS FAVORITOS Hipotesis de la Renta Permanente (Friedman): Consumo = b*(Renta Permanente) + u i Capital Asset Pricing Model (CAPM) : ( Rendimiento Activo j sobre tasa libre de riesgo) = b*(Rendimiento mercado sobre tasa libre de riesgo) + u i

Un Super-Clasico!! Engel-Demanda de Centeno : (%cambio en cantidad) = elasticidad*(%cambio en precio)

elasticidades Cambio porcentual en y Cambio porcentual en x  = = x/xx/x y/yy/y =  y x  x y Usando calculo, podemos obtener la elasticidad en un punto  = lim =  y x  x y  y x  x y  x  0

E(y) =   1 +   2 x  E(y) xx =    2 Elasticidades en nuestro modelo de regresión lineal para un valor de x:  E(y) xx =    2  = E(y) x x

Elasticidades en modelos con variables en logs ln(y) =   1 +   2 ln(x)  ln(y) xx  ln(x) xx =    2 yy xx 1 y xx xx 1 x

yy xx 1 y xx xx 1 x yy xx x y elasticidad de y con respecto a x: =    2 yy xx x y  =