H.-J. Götze IfG, Christian-Albrechts-Universität Kiel Modelación 2D H.-J. Götze IfG, Christian-Albrechts-Universität Kiel Método de Talwani y Won & Bevis

Modelación 2D Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) Un cuerpo se define como bidimensional, cuando es infinitamente largo en la dirección del eje y, siendo iguales todos los perfiles perpendiculares a dicho eje, y su densidad constante. Nuestra experiencia en geología nos indica que los cuerpos geológicos son tridimendsionales. Sin embargo, considerando la definición anterior en forma realista, es posible modelar un cuerpo como bidimensional, sin cometer un gran error, cuando el largo del cuerpo supera 4 a 5 veces su ancho. El principio del modelado bidimensional por computadora está basado en el análisis que realizara Hubbert (1948). Para entender el método, calculemos la atracción gravitatoria de una lámina plana. Elijamos un sistema de coordenadas como en la figura abajo, con el plano xz siendo el plano de integración, y el eje y, horizontal y paralelo al rumbo de la lámina. Tomemos el origen como el punto donde calcularemos el efecto gravitatorio del cuerpo. Dado que el gravímetro mide la componente vertical de la gravedad, calcularemos sólo la componente z de la atracción gravitatoria de la lámina. Curso Caracas 2006

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Modelado bidimensional (2D) Consideremos, entonces, una lámina plana horizontal infinita limitada por los planos z, y z+dz. Sea dS un elemento de superficie de este plano en el espacio tridimensional y D la densidad constante de dicho elemento. Es posible demostrar que la componente vertical de la atracción gravitatoria de dicho elemento en el origen es (5.1) donde f = 6.67 10-8 g-1 cm3 s-2 es la constante de gravitación universal, D la densidad, r la distancia del elemento al origen, y " el ángulo que forma r con la horizontal. Pero dado que (5.2) es la definición del ángulo solido (solid angle) que subtiende la superficie dS en el origen, es posible expresar (5.1) como (5.3) Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) Si consideramos un área de forma arbitraria S, y dos planos horizontales z1 y z2, la atracción en el origen debido a la masa contenida en el cono diagonal con vértice en el origen será (5.4) Consideremos ahora la atracción gravitatoria en el origen, que resultaría, si el elemento de superficie dS se transformara en una angosta faja paralela al eje y de longitud infinita (fig. 5.4), definida por el área del plano z=const y dos planos inclinados que se intersectan en el eje y, y tienden con el eje x ángulos de θ y θ+dθ, respectivamente. La atracción gravitatoria de dicha faja será proporcional al ángulo sólido subtendido en el origen por la misma. Entre el ángulo sólido dS, y el ángulo plano dθ existe la siguiente relación (5.5) o Reemplazando (5.5) en (5.3) obtenemos (5.6) que expresa la atracción gravitatoria de un prisma elemental, formado por la intersección de los planos horizontales z y z+dz, con los planos θ y θ+dθ. Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) A partir de (5.6) obtenemos mediante integración en un área (5.7) y considerando a D constante (5.8) lo que nos permite calcular en forma simple el efecto gravimétrico de cuerpos bidimensionales. Tomamos θ y z como variables de integración, y divimos el plano en un mosaico de prismas elementales con espaciamiento Δθ y Δz constantes. Si los prismas elementales son lo suficientemente pequeños, es posible considerarlos de densidad constante. El efecto gravitatorio de un solo prisma elemental será (5.9) y la integración sobre un área será aproximada por (5.10) o, si la densidad es constante en toda el área de integración (5.11) donde n es el número de prismas elementales que abarca el área. Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) Este es un método muy simple para calcular el efecto gravitatorio de cuerpos bidimensionales, siempre que sean finitos, y que estén aproximadamente abajo de la estación. A modo de receta obtenemos g [mGal] = 2.328 10-4 n 1 [grados] z [m] D [g/cm3] Vea ejercicio Método de integral de línea El método anterior corresponde a una integral de superficie sobre una sección vertical del cuerpo, cuyo efecto queremos calcular, lo que puede presentar ciertas dificultades. Por lo tanto, consideremos la integral de línea a lo largo de perímetro del cuerpo. Integrando θdz alrededor del prisma elemental dθdz , comenzando en la intersección de las líneas z y θ, y siguiendo el recorrido z, θ+dθ, z+dz, θ, obtendremos (5.12) (5.13) Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) En forma alternativa, considerando la integral , a lo largo del recorrido θ, z+dz, θ+dθ, z, obtenemos (5.14) Integrando sobre la superficie S todos los prismas elementales (5.15) Como puede observarse en la figura 5.7, cuando se integra alrededor de todos los prismas elementales del cuerpo, el perímetro del cuerpo se recorre sólo una vez, mientras que los recorridos internos dos veces, una vez en un sentido y otra vez en otro, y por lo tanto se anulan. Por lo tanto (5.16) Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) Donde las integrales de línea se toman en sentido positivo a lo largo de la línea cerrada C alrededor del cuerpo. Combinando las ecuaciones (5.7) y (5.16) obtenemos (Hubbert, 1948) (5.17) que es la ecuación fundamental para el cálculo del efecto gravitatorio de cuerpos bidimensionales. Cálculo de la atracción gravitatoria de un polígono En este capítulo nos basaremos en el desarrrollo que hicieran Talwani, Worzel y Landisman (1959) sobre la fórmula (5.17) de Hubbert (1948). El efecto gravitatorio del cuerpo se calcula en las estaciónes de medición, por lo tanto para el cálculo en cada estación se realiza primero una transformación de coordenadas. Curso Caracas 2006

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Modelado bidimensional (2D) Partiendo de la fórmula de Hubbert (1948) para cuerpos bidimensionales con densidad homogénea (5.17) se obtiene: con i = número de esquinas del polígono (5.18) luego, eliminando x (5.19) y reemplazando en (5.17), se obtiene (5.20) la componente vertical de la atracción gravitatoria para el lado del polígono entre Vi y Vi+1. La atracción de los n lados del polígono será la suma de los efectos de todos los lados del polígono (5.21) donde V(n+1)=V(1). Curso Caracas 2006

Modelado bidimensional (2D) Reemplazando (5.20) en (5.21), y resolviendo la integral obtenemos (5.22, Talwani et al. (1959)): (5.22) Los ángulos 1i y Ni en (5.22) pueden expresarse muy fácilmente en función de las coordenadas de las esquinas del polígono, con lo que se obtiene una ecuación muy práctica para el cálculo del efecto gravitatorio de cuerpos bidimensionales y su modelado gráfico interactivo. Curso Caracas 2006

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