Tema IV Torsión en barras prismáticas

Torsión Mecánica de materiales – Torsión La torsión pura se presenta en toda barra recta cuando las fuerzas solicitantes actúan sólo en las bases extremas, y equivalen mecánicamente a dos pares de sentido opuesto, cuyo eje coincide con el eje de la pieza. Siendo la barra de sección constante, todas las secciones transversales están solicitadas en idéntica forma. En cuanto a la deformación presenta como característica mas acentuada, un giro elemental de cada sección, con respecto a la inmediata, alrededor del eje de la pieza.

Ilustración de la deformación por torsión Mecánica de materiales – Torsión Ilustración de la deformación por torsión

Secciones Macizas Sección circular. Sección elíptica. Mecánica de materiales – Torsión Sección circular. Sección elíptica. Sección triangular equilátera e isósceles. Sección rectangular y rectangular estrecha. Sección segmento circular y sector circular. Sección diamante y diamante truncado Sección trapezoidal. Sección paralelogramo. Otras.

Barra recta de sección circular Mecánica de materiales – Torsión Consideremos un barra recta de sección circular empotrada en uno de sus dos lados, sobre la cual actúa un momento torsor; se toma el plano XY como el plano de la base, y el eje OZ coincide con la directriz de la barra como se indica en la siguiente figura.

Barra recta de sección circular Mecánica de materiales – Torsión Barra recta de sección circular

Distribución de esfuerzos en la sección Mecánica de materiales – Torsión Distribución de esfuerzos en la sección

Mecánica de materiales – Torsión Desplazamientos De la figura, notamos que los desplazamientos son: Con las identidades trigonométricas y tomando en cuenta que para ángulos muy pequeños de giro Cos() =1 y Sen() =  tendríamos:

Mecánica de materiales – Torsión desplazamientos Hay que tomar en cuenta que cada sección transversal sufre un giro diferente proporcional a la distancia Z que hay hasta la base fija: Donde θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud a lo largo de la dirección Z

Tensor de esfuerzo para torsión pura Mecánica de materiales – Torsión Tensor de esfuerzo para torsión pura Donde:

Esfuerzo de corte y ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión Donde: El esfuerzo máximo se produce en el contorno (x=±R, y=0) y (x=0 , y=±R) entonces el esfuerzo de corte máximo sería:

Desplazamientos en función del momento torsor Mecánica de materiales – Torsión Desplazamientos en función del momento torsor

Rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Es la relación que existe entre el momento torsor y el ángulo de giro.

Torsión en barras de sección elíptica Mecánica de materiales – Torsión

Rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

Ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión El ángulo de giro experimentado por la sección por unidad de longitud esta dado por: Sustituyendo el valor de D se tiene:

Alabeo de una sección elíptica Mecánica de materiales – Torsión b a>b a

Función de alabeo Φ(x,y) y función conjugada Ψ(x,y) Mecánica de materiales – Torsión Función de alabeo Φ(x,y) y función conjugada Ψ(x,y)

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión El esfuerzo de corte máximo ocurre en los extremos del eje menor de la elipse de contorno, es decir, en x=0 e y=±b sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se tiene:

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

Alabeo de la sección Mecánica de materiales – Torsión

Torsión en piezas de sección triangular equilátera Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección triangular equilátera

Rigidez de torsión y ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión

Alabeo de una sección triangular Mecánica de materiales – Torsión

Función de alabeo y función conjugada Mecánica de materiales – Torsión Función de alabeo y función conjugada

Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el centro de cada lado del triángulo, por ejemplo para el lado AC el esfuerzo máximo está en x=a/2 e y=0

Alabeo de la sección Mecánica de materiales – Torsión

Torsión en piezas de sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección rectangular Para verificar que la sección rectangular no sea estrecha se debe cumplir que b/a ≤5

Alabeo de una sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión

Función de alabeo y función conjugada Mecánica de materiales – Torsión Función de alabeo y función conjugada

Esfuerzos cortantes Mecánica de materiales – Torsión

Rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

Ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

Constantes de torsión para una barra de sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión b/a K K1 K2 1,00 0,675 0,1406 0,208 1,20 0,759 0,166 0,219 1,50 0,848 0,196 0,231 2,00 0,930 0,229 0,246 2,50 0,968 0,249 0,258 3,00 0,985 0,263 0,267 4,00 0,997 0,281 0,282 5,00 0,999 0,291 10,00 1,000 0,312 ∞ 1/3

Sección triangular isósceles Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión: D = KG

Sección segmento circular Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión  0º 30º 60º 80º 90º C π/2 1,25 0,8 0,49 0,35

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión  0º 30º 60º 80º 90º C π/2 1,47 0,91 0,48 0,296 Rigidez de torsión: D = KG=CR G 3

Sección diamante y diamante truncado Mecánica de materiales – Torsión Sección diamante y diamante truncado

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión C depende de  y de h’/h Valores de c punto  h’/h 90º 80º 70º 60º 50º 40º 30º B 1,000 0,675 0,656 0,637 0,585 0,536 0,448 0,356 A 0,750 0,589 0,527 0,452 0,378 0,288 0,138 --- 0,651 0,646 0,635 0,596 0,555 0,485 0,382 0,500 0,699 0,608 0,541 0,467 0,417 0,368 0,292 0,511 0,547 0,551 0,548 0,616 0,475 0,437

Angulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión D = KG Cuando  = 70º y h’ > 0,75h el valor de K sería: Cuando  > 70º y h’ > 0,75h ó h’ < 0,75h el valor de K sería:

Sección Trapezoidal Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión Valores de c h/b  0,577 1 2 3 4 90º --- 0,208 0,493 0,801 1,150 60º 0,077 0,184 0,474 0,781 1,102 45º 0,160 0,446 0,746 1,066 30º ---- 0,402 0,697 1,014

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión Valores de c h/b  0,577 1 2 3 4 h/b>4 90º --- 0,141 0,457 0,790 1,123 60º 0,038 0,125 0,436 0,768 1,101 h/3b-0,232 45º 0,104 0,398 0,729 1,061 h/3b-0,271 30º 0,345 0,674 1,007 h/b-0,326

Sección Paralelogramo Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión Valores de c  b/a 15º 30º 45º 60º 75º 1,00 1,618 1,207 0,7442 0,3468 0,08859 1,20 1,350 1,008 0,6231 0,2909 0,07434 1,50 1,084 0,8151 0,5071 0,2384 0,06121 2,00 0,8200 0,6237 0,3930 0,1871 0,04847 2,50 0,6605 0,5076 0,3232 0,1554 0,04055 3,00 0,5533 0,4256 0,275 0,1332 0,03493

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión Valores de c  b/a 15º 30º 45º 60º 75º 1,00 2,038 1,502 0,8448 0,3092 0,04405 1,20 1,670 1,230 0,6909 0,2525 0,03594 1,50 1,253 0,9203 0,5148 0,1873 0,02656 2,00 0,8129 0,5943 0,3300 0,1192 0,01679 2,50 0,5599 0,4078 0,2253 0,0808 0,01134 3,00 0,4055 0,2946 0,1621 0,0579 0,00811

Sección de un Sector Circular Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión Valores de C para calcular Q  60º 120º 180º C 0,0712 0,227 0,35

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión Valores de C para calcular K  45º 60º 90º 120º 180º 270º 300º 360º C 0,018 0,035 0,082 0,148 0,296 0,528 0,686 0,878 Rigidez de torsión D=KG=CR G 4

Sección circular con lados opuestos achatados Mecánica de materiales – Torsión Sección circular con lados opuestos achatados

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión Valores de C para calcular Q W/R 7/8 3/4 5/8 ½ C 1,155 0,912 0,638 0,471

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión Valores de C para calcular K W/R 7/8 3/4 5/8 ½ C 1,357 1,076 0,733 0,438 Rigidez de torsión D=KG=CR G 4

Sección circular hueca excéntrica Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión

Torsión en piezas de sección cuadrada Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección cuadrada

Ángulo de giro Como a = b y para b/a = 1 K1=0,1406 entonces: Mecánica de materiales – Torsión Como a = b y para b/a = 1 K1=0,1406 entonces: 4 Rigidez de torsión D = 0,1406Ga

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión Como a = b y para b/a=1 K2=0,208 entonces:

Torsión en piezas de sección rectangular estrecha Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección rectangular estrecha Para verificar que la sección rectangular sea estrecha se debe cumplir que c/d > 10

Ángulo de giro a = c ; b = d y para b/a >10 K1=1/3 Mecánica de materiales – Torsión a = c ; b = d y para b/a >10 K1=1/3 3 Rigidez de torsión D = 1/3(a bG)

Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión a = c ; b = d y para b/a >10 K2=1/3

Analogía de la membrana (resolución experimental del problema de torsión) Mecánica de materiales – Torsión Consideremos una membrana homogénea, flexible y elástica, inicialmente plana tensada uniformemente en su contorno por un esfuerzo unitario (S) y solicitada por una presión vertical constante (P). Supóngase que el contorno es precisamente el de la sección transversal de la pieza solicitada por torsión. Esta membrana se deforma y sus puntos experimentan desplazamientos verticales Z en función de X e Y. Las ecuaciones de los diferentes parámetros de las secciones transversales que se muestran a continuación fueron calculados usando la analogía de la membrana.

Equilibrio de una membrana elástica Mecánica de materiales – Torsión

Componentes verticales y fuerzas resultantes de una membrana elástica Mecánica de materiales – Torsión Componentes verticales y fuerzas resultantes de una membrana elástica

Mecánica de materiales – Torsión Sumando las fuerzas de la última columna e igualando a cero se obtiene la ecuación de equilibrio del elemento de la membrana.

Mecánica de materiales – Torsión La membrana, en su deformación, adopta la forma de una superficie Z=Z(x,y)

Los esfuerzos quedarían expresados de la siguiente manera Mecánica de materiales – Torsión Los esfuerzos quedarían expresados de la siguiente manera

Observando las ecuaciones anteriores se puede concluir lo siguiente Mecánica de materiales – Torsión Observando las ecuaciones anteriores se puede concluir lo siguiente La componente del esfuerzo zy según el eje Oy, es proprcional a la pendiente ∂z/∂x que la membrana presenta, según Ox. Correlativamente, la componente zy, según Ox, es proporcional a la pendiente ∂z/∂y

Analogía de la membrana Mecánica de materiales – Torsión

Mecánica de materiales – Torsión Para conocer en todo punto el esfuerzo , será preciso medir la máxima pendiente dz/dn, por ser ésta normal a la referida curva de nivel

El momento torsor se expresa como: Mecánica de materiales – Torsión El momento torsor se expresa como:

Mecánica de materiales – Torsión Observando la integral se comprueba que la ecuación de enlace entre T y θ puede expresarse en función del volumen (V), limitado por la membrana y el plano de contorno. Rigidez de torsión

Los esfuerzos en función del volumen serían Mecánica de materiales – Torsión Los esfuerzos en función del volumen serían

Mecánica de materiales – Torsión En resumen tendríamos

Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Mecánica de materiales – Torsión Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Sección circular. Sección elíptica.

Barra recta cilíndrica de sección anular Mecánica de materiales – Torsión Barra recta cilíndrica de sección anular Para verificar que la sección sea de pared gruesa, se debe cumplir que: ro/ t < 10

Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro

Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Mecánica de materiales – Torsión Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Para verificar que la sección sea de pared gruesa se debe cumplir que am / t < 10

Diámetro anular Como K = ao/a y K = bo/b entonces: Mecánica de materiales – Torsión Como K = ao/a y K = bo/b entonces:

Componentes del esfuerzo cortante Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Secciones tubulares cerradas de pared delgada Mecánica de materiales – Torsión Secciones tubulares cerradas de pared delgada Sección rectangular. Sección elíptica. Sección circular.

Ecuaciones de Bredt Mecánica de materiales – Torsión Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante la analogía de la membrana, y es a partir de estas que se calcula el esfuerzo de corte máximo para las siguientes secciones tubulares de pared delgada.

Sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que d2 / t ≥ 0

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Mecánica de materiales – Torsión Sección Elíptica Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Sección Circular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada, se debe cumplir ro / t ≥ 10

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y rigidez de torsión

Productos tubulares de pared delgada abiertos Mecánica de materiales – Torsión Productos tubulares de pared delgada abiertos Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que ro / t ≥ 10

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Mecánica de materiales – Torsión Sección Elíptica Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que d2 / t ≥ 0

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Secciones de perfiles laminados Mecánica de materiales – Torsión Sección en L. Sección en T. Sección en U. Sección en I.

Perfil laminado en L Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Perfil laminado en T Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Perfil laminado en U Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Perfil laminado en I Mecánica de materiales – Torsión

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

Secciones con dependencia triple o múltiple Mecánica de materiales – Torsión Secciones con dependencia triple o múltiple Las secciones transversales que tengan dependencia triple o múltiple pueden descomponerse en forma doblemente conexas, que se denominan células; es posible asignar a cada célula un flujo tangencial constante fi, manteniendo para todas la células el mismo sentido de circulación (correspondiente al giro positivo alrededor del eje z). Llamando Ai el área encerrada por la línea media de la pared de la célula i. La participación de la célula i en el momento torsor T será igual a 2Aifi

Secciones con dependencia triple o múltiple Mecánica de materiales – Torsión Secciones con dependencia triple o múltiple

Células descompuestas Mecánica de materiales – Torsión

Mecánica de materiales – Torsión El momento torsor total transmitido por la barra sería El flujo tangencial que actúa en cada pared intermedia está formada por dos partes, que corresponden a las células situadas a ambos lados. Como consecuencia de la igualdad de sentido de circulación en todas las células, cada pared intermedia absorbe la diferencia de los flujos tangenciales de las células adyacentes

Mecánica de materiales – Torsión En las paredes que rodean a la célula i actúan los flujos fij en el sentido de circulación de la célula i, entonces se va a introducir la siguiente notación para cada una de las integrales de la ecuación del ángulo de giro

Entonces tendríamos las siguientes ecuaciones Mecánica de materiales – Torsión Entonces tendríamos las siguientes ecuaciones

El ángulo de giro quedaría expresado como: Mecánica de materiales – Torsión El ángulo de giro quedaría expresado como: