2 Funciones Nuevas de Viejas Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

2.4 COMPOSICION DE FUNCIONES Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

Composicion de Funciones Composicion crea una nueva funcion tomando el output de una funcion 1 como el input de otra funcion 2. (Como una reacción en cadena o en serie). Una ilustración usando números, suponga que f (x) = x2 + 1 y g (x) = x – 2. Si el input de g es x, el output es y= g (x) = x – 2. Entonces: input(entrada) output(salida) 2  g (2) = 0  f (0) = 1 describe la composicion f (g (x)) cuando x = 2 o f (g (2)).

Composicion de Funciones Si usamos g(x) = x – 2 como input en f, tenemos f (g (x)) = f (x – 2) = (x – 2) 2 + 1. Esto se llama la composicion de f con g, usando la notación f  g. El resultado es contruir una función más compleja usando 2 funciones mas elementales. La composición de f y g (f  g) = f(g(x)) La composición de g y f (g  f) = g(f(x))

Composicion de Funciones La composición de 2 funciones f y g se ilustra en el Diagrama 1. Diagrama 1

Composicion d Funcioness El diagrama 2 muestra usando un diagrama de máquina (como la calculadora) la composición: (f  g)(x) = f (g (x)). Primero x es el input (entrada) de una g, con output (salida) g (x). Entonces g (x) se usa como input de la funcion f, obteniendo la salida finalmente f(g(x)). La composición está definida si x está en el Dominio de g, o sea, x se puede evaluar en g, y a su vez, g (x) está en el dominio de f. Diagrama 2

Ejemplo 1 Halla (f  g)(2) y (g  f ) (2) para f (x) = x – 2 y g (x) = x2 – 1. Solucion: Como se muestra en el Diagrama 3, (f  g)(2) = f (g (2)) = f (3) = 1 y (g  f )(2) = g (f (2)) = g (0) = –1. Note que (f  g)(2)  (g  f )(2). Diagrama 3

Composicion de Funciones Recuerda cuando se hacía una descripción “verbal” de la función no importa el nombre que se le de al input de f. Esta notación es muy útil te ayuda a visualizar la composición enfatizando este concepto:

Composición: f  g = f( g(x) ) f(x) = x2 – 1 x +1 x+1 cuando g(x) = x + 1 como (x + 1)2 = x2 + 2x +1 simplifica: f(g(x)) = x2 +2x

Composición: g  f = g( f(x) ) g(x) = x + 1 g( )= ( ) + 1 x 2– 1 x 2– 1 cuando f(x) = x2 – 1 simplifica: g(f(x)) = x2

Transformaciones que son Composicion de Funciones: Contraccion o estiramiento horizontal, y reflexión al eje-de-y de gráficas Figure 7