El concepto de Computabilidad y la Máquina de Turing Introducción a la Ingeniería en Computación UTM Ing. Moisés E. Ramírez G.

Alan Turing (1912-1954) Una pregunta acechaba a Turing, y era el hecho de que: ¿Debe existir al menos en principio algún método definido, o proceso mediante el cual toda cuestión matemática pueda ser demostrada? (entscheidugsproblem) Para contestar a esta pregunta necesitaba una definición del concepto método, y para ello analizó que era lo que hacía una persona para transformar un proceso metódico, y buscar una forma de hacer esto mecánicamente. Expresó el analisis en términos de una máquina teórica que sería capaz de transformar con precisión operaciones elementales previamente definidas en símbolos en una cinta de papel. En Agosto de 1936 presenta el concepto final de la Maquina de Turing en su artículo On Computable Numbers (1936). En este artículo determinó la naturaleza y las limitaciones teóricas de las máquinas lógicas antes de que se construyera siquiera una sencilla computadora por completo programable MERG

En Princeton, desarrolló una máquina de cifrado, y estudió sobre este campo debido a la utilidad de ello en la Guerra con Alemania. Trabajando secretamente para el Colegio de Cifrado y Código Gubernamental o también llamado Departamento de Criptoanálisis. Turing fue reclutado por Inglaterra, en Bletchley Park, para descifrar los mensajes que componía la máquina alemana Enigma, y, como consecuencia, los aliados construyeron la máquina Colossus. Es en este periodo cuando toma contacto con la más avanzada tecnología electrónica de la época y planea la Máquina de Turing Universal en su forma electrónica, de hecho había inventado las computadoras digitales. MERG

En 1950, Turing publica el artículo Computing Machinery and Intelligence en la revista Mind, en el que introducía el célebre Test de Turing. Este artículo estimuló a los pensadores sobre la filosofía e investigación en el campo de la Inteligencia Artificial. Turing tuvo la visión de una computadora con memoria que implementaría las funciones aritméticas mediante programación en vez de con componentes electrónicos, y que podría desempeñar todo tipo de tareas (por ejemplo, manejo de archivos, álgebra, jugar ajedrez, encriptamiento, etc.) Hacia 1947, concibió la idea de las redes de cómputo y el concepto de subrutina y biblioteca de software. En vez de publicar los principios fundamentales de cómputo que había descubierto, se dedicó a estudiar fisiología y neurología, y en un reporte interno del NLP (Laboratorio Nacional de Física, Inglaterra) de esa época, describe las ideas básicas de lo que hoy se conoce como una red neuronal. MERG

Test de Turing En 1950, Alan Turing publicó en la revista Mind el artículo Computing Machinery and Intelligence en el que introducía el concepto de Test de Turing. Este artículo puede considerarse el precursor de muchos de los desarrollos actuales en el campo de la Inteligencia Artificial. El test consistía en juzgar el nivel de inteligencia de una máquina. Se supone un juez situado en una habitación, y una máquina y un ser humano en otras. El juez debe descubrir cuál es el ser humano y cuál es la máquina, estándoles a los dos permitidos mentir al contestar por escrito las preguntas que el juez les hiciera. La tesis de Turing es que si ambos jugadores eran suficientemente hábiles, el juez no podría distinguir quién era el ser humano y quién la máquina. MERG

¿Qué es computabilidad? Consiste en ser capaz de encontrar la representación adecuada para la descripción de un problema o fenómeno. Para tal representación es necesario: Un conjunto finito de símbolos. Hacer asociaciones entre conceptos y elementos del lenguaje (de símbolos) Encontrar las combinaciones adecuadas de símbolos para evitar ambigüedad. Definir una manera de confirmar tal descripción para que terceros puedan reproducirla y llegar a los mismos resultados. MERG

El concepto de modelo Modelo: es una especificación, generalmente en términos de un lenguaje matemático, de los pasos necesarios para reproducir un subconjunto determinado de la realidad. La representación del modelo surge siempre a partir de su descripción. ¿Es posible siempre pasar de la descripción de un modelo a su representación? ¿Todo lo que es descriptible puede ser representable? Aparentemente la exactitud de la descripción hace depender a la exactitud de la representación. Existen procesos que pueden ser descritos con gran exactitud, pero su representación o modelado no es posible. MERG

Teoría de la computabilidad La Teoría de la Computabilidad consiste en encontrar maneras de representar descripciones de procesos, de tal manera que se pueda asegurar si existe o no una representación. Se dice que un algoritmo es una manera formal y sistemática de representar la descripción de un proceso. MERG

La máquina de Turing* En el artículo On Computable Numbers, Turing construyó un modelo formal de computador, la Máquina de Turing, (con esto resolvió el entscheidungsproblem (planteado por, David Hilbert) y demostró que había problemas tales que una máquina no podía resolver. La máquina de Turing es el primer modelo teórico de lo que luego sería un computador programable. Con el tiempo a este tipo de máquina se la conoció como máquina de estado finito, debido a que en cada etapa de un cálculo, la siguiente acción de la máquina se contrastaba con una lista finita de instrucciones de estado posibles. * La “máquina” no se debe confundir con un aparato físico. Se trata más bien de una construcción matemática. MERG

Componentes de la máquina de Turing Una cinta de longitud infinita dividida en celdas (cada celda puede tener solamente un símbolo tomado de un diccionario de símbolos predefinido). Un control finito que tiene la capacidad de examinar el algún símbolo de alguna celda y tomar una decisión que depende del símbolo observado y del estado en que se encuentre el control finito. El control es finito porque puede estar solamente en alguno de los estados posibles, habiendo solamente un número finito de ellos. Se supone un diccionario de símbolos finto. MERG

Un estímulo lo será si ocurren dos sucesos: ... Control Finito Se puede observar la cinta de longitud infinita, que en este caso se encuentra en la primera celda de la cinta con el símbolo S1. Se debe entender a la máquina como un ser vivo que reacciona de maneras preestablecidas ante estímulos provenientes del exterior (en este caso la cinta). Un estímulo lo será si ocurren dos sucesos: Que el control finito se encuentre en cierto estado E1 En la celda actual existe un símbolo S1 MERG

... Entonces la máquina reaccionará a este estímulo que consistirá en: Pasará a un nuevo estado (puede ser el mismo que tenía antes). Escribirá un nuevo símbolo en el lugar recién leído (puede ser el mismo que el anterior). Moverá el control finito una celda a la derecha (D) o a la izquierda (I). Estímulos Reacciones Estado actual Símbolo Actual Estado Nuevo Símbolo Nuevo Movimiento E1 S1 E2 S4 I E3 S6 D ... MERG

Ejemplo de una MT E0 E1 X D 1 E6 Y E2 I E3 E4 B E5 Z La máquina tiene 7 estados. Los estados finales son E5 y E6, el estado final es E0. Maneja 6 símbolos: 0,1,X,Y,Z,B El objetivo de este problema es darse cuenta de que es posible programar la máquina para que se comporte de tal forma que pueda lograr algún fin previsto. Esto es la representación de algún proceso que fue adecuadamente codificado en la máquina. El resultado final de la máquina será un conjunto de celdas que tendrán la solución encontrada. Estado Actual Simbolo Actual Nuevo Estado Nuevo Símbolo Mov. del control E0 E1 X D 1 E6 Y E2 I E3 E4 B E5 Z MERG

Qué pasa en la siguiente cinta 1 B … Ctrl Estado Actual Cinta Actual Cinta Modificada E0 0 0 1 1 B B X 0 1 1 B B E1 E2 … . MERG

Al número le resta 1 0 1 1 1 D Complemento a 2 0 0 2 0 D x _ 0 _ D 1 _ 3 _ I 2 0 2 0 D 2 1 1 1 D 2 _ 3 _ I 3 0 3 1 I 3 1 F 0 I Cinta 1 0 1 0 _ _ Complemento a 2 x _ 0 _ D x 1 0 0 D x 0 0 1 D 0 0 0 1 D 0 1 0 0 D 0 _ 1 _ I 1 0 F 1 D 1 1 1 0 I 1 _ F 1 D Cinta _ 1 0 1 0 _ _ MERG

. Cuenta los unos Complemento a 2 0 _ 1 _ D 0 0 1 1 D 0 1 1 0 D I _ 0 _ D 0 0 0 0 D 0 1 1 0 D 0 _ F _ D 1 1 1 1 D 1 0 1 0 D 1 _ 2 _ D 2 1 2 1 D 2 _ 3 1 I 3 1 3 1 I 3 _ 4 _ I 4 0 4 0 I 4 1 4 1 I 4 _ 0 _ D Cinta  _ 1 0 1 0 _ _ _ _ _ _ Inicio: I Fin: F Complemento a 2 0 _ 1 _ D 0 0 1 1 D 0 1 1 0 D 1 1 1 0 D 1 0 1 1 D 1 _ 2 _ I 2 0 F 1 I 2 1 2 0 I 2 _ F 1 I EdoI=0 EdoF=F Cadenas: _ 0 1 1 0 1 0 _ _ MERG