Triángulos rectángulos Idea intuitiva del Teorema de Pitágoras Comprobación del Teorema de Pitágoras Ejercicios del Teorema de Pitágoras Relación numérica del T. de Pitágoras Cálculo de la diagonal de un cuadrado y un rectángulo Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Cálculo de la apotema de un hexágono regular Cálculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia Cálculo de la apotema de un hexágono regular inscrito Cálculo del lado de un triángulo regular inscrito La escuadra pitagórica. Rectas perpendiculares Resolución de problemas

Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. 1. Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. Si A es el ángulo recto, las rectas AB y AC son perpendiculares. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. C Ángulo recto Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. Cateto a Hipotenusa b La suma de los ángulos B y C es 90º. Por tanto, B y C son complementarios. Cateto A B c C B A Si los catetos son iguales, el triángulo es isósceles En este caso, los ángulos C y B son iguales. b a c

Dos propiedades de interés: 2. Propiedades de los triángulos rectángulos Dos propiedades de interés: Primera Segunda En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. A B C C B A a c b M Los triángulos ABM y AMC son iguales BM = MC son complementarios

El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene 25 baldosas Área = 25 3. Idea intuitiva del Teorema de Pitágoras (I) Imagínate un triángulo rectángulo. Sobre cada lado construimos un cuadrado formado por baldosas. El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene 25 baldosas Área = 25 Los cuadrados construidos sobre los catetos tienen 16 baldosas y 9 baldosas Área = 16 Área = 9 En un triángulo rectángulo la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

el área del cuadrado construido 4. Idea intuitiva del Teorema de Pitágoras (II) En un triángulo rectángulo: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa Área = c2 a c b es igual Área = a2 a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos Área = b2 c2 = a2 + b2

Teorema de Pitágoras: comprobación 5. Comprobación del Teorema de Pitágoras (I) Teorema de Pitágoras: comprobación Si contamos con 8 triángulos rectángulos iguales y con tres cuadrados cuyos lados sean iguales a los del triángulo, podemos agruparlos de dos maneras. Nos valdremos de dos tableros iguales para comparar los resultados Ambas disposiciones cubren todo el tablero. Hay cuatro triángulos y los cuadrados de lados los catetos. Hay cuatro triángulos y el cuadrado de lado la hipotenusa. En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si los catetos miden c, b y la hipotenusa a: c2 + b2 = a2. Los números a, b, c, que verifican esta relación se dice que forman una terna pitagórica.

Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm 6. Comprobación del Teorema de Pitágoras (II) Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. El área del cuadrado construido sobre el primer cateto vale 9 Observa: Hay 3·3 = 9 cuadraditos 3 4 1. El área del triángulo es 6 2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1. El área del cuadrado construido sobre el segundo cateto vale 16 Hay 4·4 = 16 cuadraditos 3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5 Por tanto: 32 + 42 = 52

Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2 7. Comprobación del Teorema de Pitágoras (III) Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2 Observa que en ese cuadrado caben: Se tiene pues: c 49 = 4·6 + c2 c2 4 Cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 y 4 cm. Cuyas áreas valen 6 cm2 cada uno. 25 cm2 c2 = 49 - 24 = 25 3 c2 = 25 = 52 6 cm2 25 = 9 + 16 7 Además cabe un cuadrado de lado c, cuya superficie es c2. Por tanto, 52 = 32 + 42

8. Teorema de Pitágoras: ejercicio 1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Teorema de Pitágoras: c2 + b2 = a2 Operando: a2 = 62 + 82 a? 6 a2 = 36 + 64 = 100 Haciendo la raíz cuadrada: 8 a = 10 cm

9. Teorema de Pitágoras: ejercicio 2 En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa. c? 5 Haciendo la raíz cuadrada 12 Como c2 = a2 + b2 se tiene: c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm

Haciendo la raíz cuadrada: a? a = 8 cm 10. Teorema de Pitágoras: ejercicio 3 En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto. Como c2 = a2 + b2 se tiene: a2 = c2 - b2 10 6 Luego: a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 Haciendo la raíz cuadrada: a? a = 8 cm

11. Teorema de Pitágoras: ejercicio 4 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos 12 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? 13 b? 12 Teorema de Pitágoras: b2 + c2 = a2 Operando: b2 + 122 = 132 b2 + 144 = 169 b2 = 169 – 144 = 25 Haciendo la raíz cuadrada: b = 5 cm

12. Los triángulos “sagrados” Un resultado curioso observado ya des de la antigüedad es que para ciertos valores enteros de los lados se obtenían triángulos rectángulos. Los egipcios le llamaron triángulos sagrados. 32 + 42 = 52 Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios. 5 4 62 + 82 = 102 3 92 + 122 = 152 10 8 6 15 Todos ellos son rectángulos, pues cumplen la relación: b2 + c2 = a2 12 Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13 (o proporcionales a estas) 13 9 5 52 +122 = 132 12

¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm? 13. Reconocimiento de triángulos rectángulos (I) Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo. 80 cm ¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm? b a Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que: a2 + b2 = c2 102 cm 60 cm c Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida Mientras que 1022 = 10404 Son distintos

14. Reconocimiento de triángulos rectángulos (II) Vamos a utilizar los valores 3, 4 y 5 (son valores de los lados de uno de los triángulos sagrados) para construir un triángulo rectángulo. Para ello utilizamos una cuerda a la que se han hecho 13 nudos. (Así contiene doce tramos iguales). Se procede como se indica en las viñetas siguientes. 5 4 3 Se extiende la cuerda desde un punto B (vértice B) Se dobla por el 4º nudo, bien sujeta, donde se quiere obtener el ángulo recto (vértice A) Se extiende hasta el 8º nudo por el otro lado (vértice C) Se ajusta el 13º nudo en el punto de partida, bien tirante. Como los lados miden 3, 4 y 5, cumplen la relación pitagórica: 32 + 42 = 52. Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. 7 ¿Cuánto mide su diagonal? 15. Cálculo de la diagonal de un cuadrado Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. 7 ¿Cuánto mide su diagonal? La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno. 7 d Cumplirá que: d2 = 72 + 72 Luego, d2 = 49 + 49 = 98

Los lados de un rectángulo miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide su diagonal? 16. Cálculo de la diagonal de un rectángulo Los lados de un rectángulo miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide su diagonal? La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente. d 6 Cumplirá que: d2 = 62 + 82 Luego, d2 = 36 + 64 = 100 8 Haciendo la raíz cuadrada: d = 10

es perpendicular a la base y 17. Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm. ¿Cuánto mide su altura? La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm. Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y la divide en dos partes iguales 8 8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2 h Luego, 64 = 9 + h2 h2 = 55 3 3 6

El lado de un hexágono regular vale 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema? 18. Cálculo de la apotema de un hexágono regular Cálculo de la apotema de un hexágono regular El lado de un hexágono regular vale 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema? Recuerda: 1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado. 6 2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado. 6 60º Luego, la apotema es la altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm. 3 3 Por tanto: 62 = a2 + 32 a2 = 36 – 9 = 27

Lado del cuadrado inscrito 19. Cálculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado? Observa: Lado del cuadrado inscrito 1 1. La distancia del centro del cuadrado a cada uno de sus vértices es igual al radio: 5 cm. c 5 90º 2. Se forman cuatro ángulos de 90º grados cada uno. 5 Luego, el lado del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 5 cm. Entonces: c2 = 52 + 52 = 50

20. Cálculo de la apotema de un hexágono regular inscrito En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide su apotema? Recuerda: Por tanto: 82 = a2 + 42 1. En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia. l = 8 r Equilátero a2 = 64 -16 = 48 2. La apotema es la medida desde el centro del círculo a la mitad de un lado. Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y otro cateto de 4 cm.

21. Cálculo del lado de un triángulo regular inscrito En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un triángulo regular. ¿Cuánto mide su lado? Observa: 1. A partir de uno de los vértices del triángulo se construye otro triángulo equilátero, con un segundo vértice en el centro de la circunferencia. l = 2a. Lado: 2a 2. Los lados perpendiculares de ambos triángulos se cortan en el punto medio. 3. Se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y un cateto de 4 cm. El cateto a desconocido es la mitad del lado del triángulo inscrito: l = 2a. Luego: 82 = a2 + 42 a2 = 64 -16 = 48

22. La escuadra pitagórica. Rectas perpendiculares El teorema de Pitágoras permite trazar una recta perpendicular a otra dada. Para ello se siguen los pasos que indicamos: 32 + 42 = 52 4 4 1º. Marcamos un punto A sobre la recta dada. 2º. Con centro en A trazamos un arco de circunferencia. 3º. A 3 unidades de A, desde B, se traza otro arco de radio 5. Así se obtiene C 4º. Observamos que: AB = 3, AC = 4 y BC = 5. Luego, ABC es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el vértice A.. La recta pedida es AC

23. Resolución de problemas Problema. Una clase mide 6 m de ancho, 7 m de largo y 4 m de alto. Dos moscas están dentro de la clase. Podrías calcular la distancia máxima al a que se pueden encontrar. 1º. Hacemos un dibujo apropiado 4 m d 2º. Observamos visualmente cuál puede ser la máxima distancia. 6 m h Deducimos que dos vértices opuestos 7 m 3º. ¿Intervendrán triángulos rectángulos? Sí, dos. El verde y el rojo 4º. Aplicamos Pitágoras h2 = 72 + 62 = 65 d = 9 m d2 = h2 + 42 = 65 + 16 = 81