MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A.7.1

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA MODA MEDIANA A.7.2 DATOS AGRUPADOS DATOS NO AGRUPADOS MEDIA MODA MEDIANA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS PARA DATOS NO AGRUPADOS PARA DATOS AGRUPADOS PARA DATOS NO AGRUPADOS A.7.2

MEDIA DATOS NO AGRUPADOS Si tenemos el siguiente conjunto de datos y deseamos encontrar un valor  que represente a todo el conjunto, seguramente lo primero que vendrá a nuestra mente es sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de datos.  Ejemplo: Número de alumnados en la clase de Educación Física. 10, 9, 8, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9 Es decir, un valor representativo del conjunto de valores es: Este valor, promedio aritmético, es conocido como la media y es una de las medidas de tendencia central ya que representa un valor con respecto a toda la información. A.7.3

MEDIA DATOS AGRUPADOS A.7.4 La media para datos agrupados es la siguiente: Donde es el total de datos, m el número total de clase y es la frecuencia de datos.   La definición es claramente entendida como una extensión de la definición que dimos para datos no agrupados, ya que es lógico suponer que datos que se repiten con una frecuencia pueden simplificar la suma, por supuesto que los índices de la segunda suma con respecto a la primera corren con respecto a menor número, es decir, con respecto al número de agrupamientos m.  Ejemplo: Goles anotados por el Querétaro durante la temporada. Sean los siguientes datos 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 1. La media para dichos datos es aproximadamente igual a  2.4666 A.7.4

para datos no agrupados para datos agrupados   donde: es la media muestral x es cada uno de los datos (no agrupados) o la marca de clase (agrupados) f es la frecuencia absoluta de cada clase n es el número total de datos (tamaño de la muestra A.7.5

MODA DE DATOS NO AGRUPADOS La moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos  con mayor incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para un conjunto de datos. Ejemplos gráficos: A.7.6

MODA DE DATOS AGRUPADOS Para determinar la moda de datos agrupados su cálculo se puede realizar de la siguiente forma: Donde:  Aunque la expresión se ve un poco diferente en realidad se trata de una misma ecuación, ya que el exceso de la clase modal inferior se puede determinar como, y el exceso de la clase modal superior se determina como por lo que basta sustituir estos valores en una de ellas para encontrar la otra expresión. A.7.7

para datos agrupados donde: mo es la moda de la muestra Lmo es el límite inferior de la clase modal d1 es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior d2 es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente w es el ancho del intervalo de la clase modal A.7.8

MEDIANA DE DATOS NO AGRUPADOS La mediana de un conjunto finito de valores crecientes y decrecientes es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el número de valores mayor o igual a la mediana es igual al número de valores menores o igual a estos. A.7.9

A.7.10 Podemos describir algunas propiedades para la mediana: 1.- Es única. 2.- Es simple. 3.- Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si  ocurre con la media. A.7.10

A.7.11 Ejemplo: Goles recibidos durante el torneo. Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3  para la obtención de la mediana se deberán de ordenar. Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que tendremos: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,  3, 3, 3  4, 4, por otro lado el número de datos es igual a 15 datos, siendo el Número. de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1.   A.7.11

MEDIANA DE DATOS AGRUPADOS La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuación:  Donde: Md = Mediana. Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de calcularlo es a través de encontrar la posición. n = Número de observaciones o frecuencia total.   F acum. (i-1) = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano. A.7.12

A.7.13 F mediana= Frecuencia del intervalo mediano. A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana. Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de áreas iguales. A.7.13

para datos agrupados donde: es la mediana de la muestra n es el número total de elementos de la distribución F es la suma de todas las frecuencias de clase anteriores a la clase mediana fm es la frecuencia de la clase mediana (que contiene el dato intermedio) w es el ancho de intervalo de clase Lm es el límite inferior del intervalo de clase mediano A.7.14

Ejemplo: Determinar a partir de la tabla presentada, la media, mediana y moda: Tabla de frecuencias reportadas por un equipo de baloncesto con respecto a la estatura de los jugadores. A.7.15

Solución: Moda: Esta entre 1.85 y 1.89, y aparece en 14 jugadores. Mediana: La mediana esta entre el dato 19 y 20, entre 1.80 y 1.84. Media: Se procede de la siguiente forma: Es igual a la multiplicación del punto medio y la frecuencia de cada uno de los intervalos, después se suman los resultados de la multiplicación en cada intervalo, al final el resultado se divide entre la cantidad de datos ó número de jugadores A.7.16