@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 9 * 4º ESO E. AC. GEOMETRÍA ANALÍTICA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 9.3 * 4º ESO E. AC. MÓDULO DE UN VECTOR

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 MÓDULO DE UN VECTOR. Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] v =(4, 3) B(8, 5) MÓDULO DE UN VECTOR A(4, 2) Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: La diferencia de abscisas (x) La diferencia de ordenadas (y) El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4) 2 + (5 – 2) 2 ] = = √ [ ] = √ 25 = 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (-6, 8). Hallar su módulo. |v| =√ [ (- 6) ] = 10 EJEMPLO_2 Sea el vector v =(5, - 12). Hallar su módulo. |v| =√ [ (5) 2 + (-12) 2 ] = 13 EJEMPLO_3 Un vector tiene su origen en el punto A(0, -3) y su extremo en el punto B(-8, 3). Hallar su módulo. |v| =d (A, B) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] = = √ [ (- 8 – 0) 2 + (3 – (- 3)) 2 ] = √ ((- 8) ) = √ [ ( ) = 10 EJEMPLO_4 Un vector tiene su origen en el punto M(- 4, 2) y su extremo en el punto N(4, - 4). Hallar su módulo. |v| =d (M, N) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] = = √ [ (4 - (- 4) 2 + ((- 4) – 2) 2 ] = √ (8 2 + (– 6) 2 ) = √ ( ) = 10

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] v =(4, 3) B(8, 5) DISTANCIA ENTRE PUNTOS A(4, 2) Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: La diferencia de abscisas (x) La diferencia de ordenadas (y) El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4) (5 – 2) 2 ] = = √ [ ] = √ 25 = 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 EJEMPLO_1 Hallar la distancia del punto P(7, - 5) al punto Q(0, 2). d (M, N) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] = = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 ] = √ ((- 7) ) = √ 50 = 5.√ 2 EJEMPLO_2 La distancia del punto P(5, - 5) al punto Q(- 3, a) es 10. Hallar el valor de a. d (P, Q) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] = 10 √ [ ( ) 2 + ( a - (- 5)) 2 ] = 10 √ [ (- 8) 2 + ( a + 5) 2 ] = 10 Eliminando la raíz: 64 + a a + 25 = 100 a a - 11 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: /- √( ) / a= = = El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1) y también ( - 3, - 11). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 EJEMPLO_3 La distancia del punto M(0, - 2) al punto N(a, b) es 13. Hallar las coordenadas del punto N, sabiendo que la ordenada es doble que la abscisa. d (M, N) = √ [ (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ] = 13 √ [ (a - 0) 2 + ( b - (- 2)) 2 ] = 13 Por el enunciado: b= 2.a Luego tenemos: √ [ a 2 + ( 2.a + 2) 2 ] = 13 Eliminando la raíz y operando las potencias notables: a a a + 4 = a a = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 8 +/- √( ) - 8 +/ a= = = ,6 El punto Q tiene de coordenadas (5, 10) y también ( - 6’6, - 13’2). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por tener los ángulos iguales. Como además las hipotenusas deben ser iguales, ambos triángulos son iguales, con lo que los catetos son iguales. x 2 – x = x – x 1 y 2 – y = y - y 1 M(x, y) B (x 2, y 2 ) A (x 1, y 1 ) x y Obtenemos: x 2 – x 1 = 2.x y 2 – y 1 = 2.y Por lo cual las coordenadas del punto medio serán: x 2 + x 1 y 2 + y 1 x = ; y = PUNTO MEDIO DE SEGMENTO

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Ejemplo 1 Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(-2. 5) y B(6, 7) Las coordenadas del punto medio serán: x2 + x1 6+(-2) 4 y2 + y x = = = ---- = 2; y = = = ---- = 6  M(2,6) Ejemplo 2 El punto M(-2, 3) es el punto medio del segmento AB, donde A(-7, 5) y B(a, b) Hallar las coordenadas del extremo B. Tenemos: x2 + x a x = ; - 2 =  - 4 = a  = a  a = y2 + y1 5 + b y = ; 3 =  6 = 5 + b  6 – 5 = b  b = 1 2 2