ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6 Golpe de Ariete Cuando un fluido dentro de una tubería es acelerado o desacelerado bruscamente, la presión dentro de la tubería puede cambiar tanto, que eventualmente ésta puede reventar o colapsar. Sin embargo, en casos donde se tienen longitudes, caudales y diámetros considerables, pocas veces es económico diseñar una gran tubería que resista grandes sobrepresiones, por lo que usar otros mecanismos de seguridad es normalmente esencial. Una forma efectiva de disminuir las presiones excesivas es mediante un cierre lento o programado de la válvula, en vez de un cierre instantáneo. José F. Muñoz Pardo

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6 Golpe de Ariete Descripción de los fenómenos que ocurren al variar bruscamente las condiciones de flujo. Condición Inicial Se genera una onda positiva que avanza a velocidad “a” hacia el estanque. Detrás del frente de onda la velocidad es cero y existe una sobrepresión. En los otros puntos de la tubería se continúa teniendo una velocidad hacia la válvula igual a “v”. Transcurrido un tiempo “L/a” la onda de sobrepresión ha llegado al estanque. Toda la tubería se encuentra sometida a una sobrepresión y con velocidad cero. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6 Golpe de Ariete Descripción de los fenómenos que ocurren al variar bruscamente las condiciones de flujo. Debido a que la presión en la tubería es mayor que la presión en el estanque, se empieza a mover el fluido con velocidad “v” hacia el estanque y se elimina la sobrepresión. Transcurrido un tiempo “2L/a” la onda llega a la válvula y en toda la tubería existe un escurrimiento con velocidad “v” hacia el estanque. Se genera una onda negativa que disminuye la velocidad hasta el valor cero nuevamente. Esta onda viaja hacia el estanque. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6 Golpe de Ariete Transcurrido un tiempo “3L/a” la onda negativa llega al estanque y se ha anulado el movimiento en la tubería. Ya que la presión es mayor en el estanque se genera un escurrimiento con velocidad “v” y una onda que viaja hacia la válvula. Transcurrido un tiempo “4L/a” la onda llega a la válvula, existe en toda la tubería un movimiento con velocidad “v” y se repite la situación descrita en 1, lo cual completa el ciclo. Otros ciclos siguen, pero con disminución de energía y con sobrepresiones paulatinamente reducida hasta llegar finalmente a cero. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6 Golpe de Ariete La variación de presión en la válvula, de acuerdo al esquema detallado, se muestra en la figura 6.20, y la variación de presión en el punto medio se muestra en la figura 6.21. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6 Golpe de Ariete Al variar el tiempo de cerrado de la válvula, variará también el frente de onda y se tendrá una onda inclinada en la cual la presión aumenta paulatinamente. Por ejemplo, el diagrama de sobrepresión en la válvula para un tiempo de cerrado igual a 2L/a se muestra en la figura 6.22. De manera que sólo se tendrá un efecto de sobrepresión completo si el tiempo de llenado TC está entre los límites Si TC>2L/a existirá reflexión parcial en la válvula, por estar semi-abierta, y la onda de sobrepresión alcanzará un valor menor. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.2 Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.2 Método de las Características Una forma de evitar que se produzcan presiones excesivas en una tubería, cuando se presenta el fenómeno de golpe de ariete, es programando adecuadamente el cierre de la válvula. Sin embargo, para evaluar las sobrepresiones que se producirían en la tubería en función del tiempo, es necesario resolver las ecuaciones que definen el escurrimiento impermanente. Estas son las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento. Pero estas ecuaciones diferenciales parciales no lineales son difíciles de resolver, y para ello se utilizará el método de las características. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.2 Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.2 Método de las Características Las ecuaciones L1 y L2 contienen dos variables dependientes V y H. Dichas ecuaciones se pueden combinar con un multiplicador desconocido, tal que Un par de valores de λ cualesquiera, reales y distintos, da un par de ecuaciones en V y H que contiene todo el significado físico de las ecuaciones originales L1 y L2, y pueden sustituirlas en una solución cualquiera. Como: El primer paréntesis de la ecuación es: si El segundo paréntesis de la ecuación es: si José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.2 Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.2 Método de las Características De estas dos últimas ecuaciones se tiene: Por lo tanto se han encontrado dos valores de λ reales y distintos que convierten las dos ecuaciones diferenciales parciales (EDP) L1 y L2 en dos ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). La ecuación para L, sustituyendo los valores de λ, se convierte en: C+ C- José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE En el diagrama s vs t de la figura se observa el punto R que intersecta las curvas C+ y C-. Los valores de V y H en los puntos P y Q evaluados al tiempo viejo son conocidos. Curva C+ viene dada por la ecuación (5). La ecuación (4) es válida sólo a lo largo de la característica C+. Curva C- viene dada por la ecuación (7). La ecuación (6) es válida sólo a lo largo de la característica C-. Cada ecuación (4) y (6), contiene dos incógnitas para el punto R que son VR y HR. En la intersección R de C+ y C- ambas ecuaciones se pueden resolver para dar VR y HR. En este punto, también se puede resolver las ecuaciones (5) y (7) para dar s y t. La solución se obtiene a lo largo de las características, partiendo de condiciones conocidas y hallando nuevas intersecciones de modo de encontrar V y H para tiempos posteriores José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE Se puede realizar la simplificación de despreciar el valor de “V” frente al valor de “a”, es decir se resuelve el caso especial V<<a. C+ C- En este caso, las características C+ y C- son líneas rectas. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE Dado entonces que para V<< a , las características C+ y C- son líneas rectas para generar valores de V y H en diversas posiciones de la cañería como funciones del tiempo ( ti ), es necesario conocer: Las condiciones iniciales a lo largo del eje s en el plano s-t (viejo o ti-1) Las condiciones de borde para todos los tiempos ( ti ) en s=0 y s=L José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE Usando la notación Las ecuaciones (8) y (9) en diferencias finitas con un término evaluado en : Multiplicando (10) y (11) por ∆t conduce finalmente a: José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Metodología numérica del método de las características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Metodología numérica del método de las características Se selecciona un ∆s y luego mediante (3) se puede obtener ∆t como: , ∆t queda fijo una vez que ∆s se ha fijado. Luego, se tendrá una malla similar a la que se muestra en la figura: Condición inicial: , conocido para todo p ( p =1, 2,…, N+1) conocido para todo p ( p = 1, 2,…, N+1) José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE Ocupando las ecuaciones (12) y (13) se calculan para los valores de: y Los valores y deben calcularse con la ayuda de las condiciones de borde. Para s1 sólo existe la ecuación C- que relaciona . La condición de borde en s1 (s=0) proporciona otra ecuación para que se resuelve con la ecuación C-. Para sN+1 sólo existe la ecuación C+ que relaciona La condición de borde en sN+1 (s=L) proporciona otra ecuación para que se resuelve con la ecuación C+. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Metodología numérica del método de las características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Metodología numérica del método de las características El proceso se repite iterativamente para tiempos posteriores de acuerdo al siguiente procedimiento numérico: Seleccionar ∆s Calcular ∆t= ∆s/a Conocidas las condiciones en el instante previo (ti-1) calcular y con: Calcular y usando la ecuación C- y la condición de borde en s1 (s=0). José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE Ejemplo a) En el estanque y cañería de la figura calcular : Aplicando Bernoulli ente los puntos o y 1 se tiene: Pero y se calculan resolviendo las ecuaciones (13) y (16) José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 5.-Calcular y usando la ecuación C+ y la condición de borde en sN+1 (s=L) Si por ejemplo, en s=L existe una válvula que se cierra de tal forma que la velocidad disminuye linealmente desde V0 a cero en TC segundos se tiene que: La ecuación (12) proporciona 6.- Repetir el procedimiento desde 3 para tiempos posteriores. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características Suponer la instalación de la figura Se tienen dos estanques conectados por una tubería con válvula. Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos a y b, se obtiene la velocidad inicial V0 en la cañería. José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características La cañerías e divide en 5 secciones, de manera que el esquema es el siguiente: La condición inicial para el estado estacionario y válvula completamente abierta permite aplicar la ecuación de Bernoulli entre el estanque a y un nodo p cualquiera como: Con José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características Evaluando esta última expresión para los distintos nodos se tiene: Para los nodos 2 al 5 se utilizan las siguientes dos ecuaciones: Para el nodo 1 se usa C- y la condición de borde en el nodo 1: p 1 2 3 4 5 6 29.9 27.5 25.5 23.5 21.5 19.5 José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características Si Se obtiene una ecuación cuadrática en Para el nodo 6, con la ecuación C+ y la condición de cierre lineal de la válvula obtenemos: José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características Los resultados numéricos de este ejercicio se adjuntan en las siguientes tablas: 1.00 2.00 3.00 4 5 6 Iteracion T(s) V1 H1 V2 H2 V3 H3 V4 H4 V5 H5 V6 H6 0.00 3.13 29.50 27.50 25.50 23.50 21.50 19.50 0.20 2.82 51.41 0.40 53.24 2.50 83.32 0.60 55.05 2.51 84.99 2.19 115.63 4.00 0.80 56.86 86.63 2.20 117.15 1.88 147.91 5.00 58.67 88.27 118.64 149.30 1.57 180.52 6.00 1.20 2.52 29.67 89.92 2.21 120.14 1.89 150.66 181.80 1.25 213.06 7.00 1.40 1.92 29.81 1.91 90.99 1.90 152.02 1.58 183.05 1.26 214.24 0.94 245.89 8.00 1.60 1.30 29.91 91.91 1.29 153.78 1.27 215.40 0.95 247.00 0.63 278.60 9.00 1.80 0.69 29.98 92.70 0.68 155.28 0.66 217.66 0.64 279.67 0.31 311.57 10.00 0.07 30.00 93.35 0.06 156.58 0.05 219.54 0.03 282.22 344.38 11.00 -0.55 -0.56 93.87 157.60 -0.57 221.14 -0.59 284.29 284.79 12.00 2.40 -1.18 29.93 94.24 -1.19 158.43 -1.20 222.35 -0.60 223.74 224.33 13.00 2.60 -1.81 29.83 94.49 158.98 -1.21 161.15 -0.61 162.50 162.83 14.00 2.80 -2.44 29.70 94.57 -1.83 97.39 -1.22 99.44 100.35 100.82 15.00 -3.06 29.52 -2.46 32.86 -1.85 35.48 -1.23 36.90 -0.62 37.87 38.01 16.00 3.20 -2.48 29.69 -2.47 -28.96 -1.86 -27.17 -1.24 -25.78 -25.32 -24.93 17.00 3.40 -1.88 29.82 -30.07 -89.75 -89.07 -88.46 -88.51 18.00 3.60 -1.28 29.92 -30.96 -1.27 -91.77 -1.25 -152.12 -152.14 -151.84 19.00 3.80 -0.68 -31.78 -0.67 -93.32 -0.65 -154.71 -215.37 -215.62 20.00 -0.07 -32.38 -0.06 -94.72 -0.05 -156.57 -0.03 -218.18 -278.76 21.00 4.20 0.54 0.55 -32.93 -95.62 0.56 -158.19 0.58 -219.99 -220.74 22.00 4.40 1.16 -33.26 1.17 -96.41 -159.04 0.59 -160.78 -161.34 23.00 4.60 1.78 29.84 -33.54 -96.68 1.19 -99.10 -100.51 -100.95 24.00 4.80 2.39 29.71 -33.58 -36.41 -38.43 -39.39 -39.81 25.00 29.54 2.41 26.58 1.82 24.23 1.21 23.01 0.61 22.15 22.04 José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características Los resultados numéricos de este ejercicio se adjuntan en las siguientes tablas: José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico

2.6.3 Ejemplo Método de las Características ESCURRIMIENTO NO PERMANENTE 2.6.3 Ejemplo Método de las Características Los resultados numéricos de este ejercicio se adjuntan en las siguientes tablas: José F. Muñoz Pardo ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico