MAESTRIA EN GEOFISICA DIEGO ARMANDO VARGAS SILVA ABRIL 2016

La fuerza en dirección i es obtenida por la sumatoria sobre las caras j del bloque. Si la derivada parcial con respecto a xi es denotado por una coma “,” la ecuación anterior se convierte en Ecuación de movimiento

La ecuación de movimiento describe un cuerpo en equilibrio por lo tanto la aceleración es cero Esta ecuación de equilibrio debe satisfacer un problema elástico, tal como encontrar el esfuerzo debido solo a la gravedad Ecuación de movimiento homogéneo Esta ecuación describe la propagación de ondas sísmicas excepto en una fuente, tal como en un terremoto o una explosión donde esas fuerzas (fuente) generan ondas sísmicas

Ecuación de movimiento homogéneo analizada en una sola dirección Para expresar esto en términos de desplazamiento se usa las leyes constitutivas en un medio elástico isotrópico Luego se derivan los esfuerzos

En material homogéneo las constantes elásticas no varían con la posición, luego se sustituyen las derivadas en la ecuación de movimiento y remplazando la dilatación Esta ecuación puede ser obtenida para Y y Z Usando el laplaciano se pueden combinar las tres componentes Ecuación de movimiento en medio elástico e isotrópico

Resolviendo la ecuación anterior, esta puede ser escrita de la siguiente forma donde r y phi son potenciales Los desplazamientos son la suma del gradiente del potencial escalar y r es el vector potencial, ambos son funciones de espacio y tiempo

Sustituyendo los potenciales en la ecuación Se obtiene Finalmente se reorganiza

Debido a que las constantes elásticas no varían con la posición y el orden de la diferenciación no tiene efecto, una solución de la ecuación puede encontrarse si ambos términos en el paréntesis es cero, en este caso se tienen dos ecuaciones de onda, una por cada potencial Solución Potencial escalarSolución de vector potencial Las ecuaciones anteriores son similares a las que satisface ondas en una cuerda

La ecuación escalar en tres dimensiones Esta ecuación describe como el campo escalar se propaga en tres dimensiones Si se tratara de una onda escalar no homogénea con fuente tendría la siguiente estructura La solución de onda armónica en una dimensión a ecuación de onda escalar La solución puede ser generalizada para resolver la ecuación de onda escalar en tres dimensiones, la solución conocida como onda plana armónica se escribe de la siguiente forma

Las ondas planas son perpendiculares a la dirección de propagación X es el vector posición y K = vector de onda o # de onda y esta solución representa una onda plana La magnitud da el numero de onda y la frecuencia espacial Su dirección la da la dirección de propagación

Los frentes de ondas el cual en cualquier tiempo son superficies de fase constante Y además los valores constantes de son planos perpendiculares a la dirección de propagación Note que todos los puntos en u plano perpendicular al vector de onda tienen el mismo valor de k.x por que este producto escalar es la proyección de K en X. La solución de la ecuación de onda escalar en tres dimensiones puede ser generalizada para solucionar la ecuación de vector de onda entres dimensiones

La cual describe la propagación de un campo vector La solución de onda plana armónica para la solución de onda plana vector

Para resolver la ecuación se sustituye Y se obtiene Solución de onda escalar para Se expresa y el laplaciano en coordenadas esféricas considerando soluciones esféricamente simétricas, la onda esféricamente simétrica satisface la ecuación de onda homogenea Esta solución describe el frente de onda esférico centrado alrededor del origen

Solución de la ecuación de onda no homogenea Esto representa un punto de la fuente en el origen con una función de tiempo f(t), es cero excepto r=0, pero su integral sobre el volumen incluyendo el origen es 1 La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado, esta disminuye como 1/r^2

Ondas p Ondas S

La onda p genera compresión y expansión por lo tanto la dilatación no es cero Onda longitudinal Ondas s Estas ondas son perpendiculares a la propagación por lo tanto la dilatación es cero Onda trasversal, estas ondas se pueden polarizar como sv, las que se desplazan en el plano vertical x-z, SH desplazan dirección y paralela a la tierra

SV en el plano x-z y SH en dirección y

Los sismómetros leen movimientos horizontales y verticales que raramente corresponden a sH y sV, como resultados los datos de componentes horizontales son frecuéntemente rotados

Varios P y S diferentes caminos entre la fuente y el sismómetro Tres trazas en la estación y dos en fondo de radial y transversal La energía es distribuida de norte a sur – este a oeste por lo tanto las fases de la onda S son comparables con ambas componentes Ondas depende de los diferentes caminos que tomen

Ondas s de cizalla no se propagan en liquido debido a que rigidez u=0 Ondas p, primarias o compresivas, son mas rapidas que las ondas s por que la rigidez y el modulo volumétrico son positivos y viajan a través de la tierra La corteza de la tierra es un solido de Poisson con constante elástica lamda=u=3*10^11, dina/cm2 desidad = 3g/cc Velocidad onda P = 5.5 x10 ^5 cm/s Velocidad onda S= 3.2 x10 ^5 cm/s Frecuencia 0,5 s^-1

Estudios de terremotos indican que el periodo esta en un rango de 0.1 – 3000 s Las frecuencias La onda p tiene desplazamientos a lo largo de la dirección de propagación por lo tanto llega primero La onda s n-s llega mas temprano que este – oeste por anisotropia Olivino

Los tiempos de viaje dan una idea de la distancia entre el sismógrafo y terremoto

Energía almacenada en una cuerda producto de esfuerzo por deformación

El promedio del flujo de energía se halla multiplicándolo por la velocidad

La propagación esta dada por Solo no será cero en la componente