ECONOMETRÍA ECONOMETRÍA MSc. Daisy Espallargas Ibarra

Modelos no Lineales RESTRICCIONES LINEALES Bibliografía: Econometría, Damodar N. Gujarati. Páginas 186, 187 y 202

La Teoría Económica deja generalmente indeterminada la forma funcional de las relaciones entre variables económicas, por lo que en ocasiones estas pueden ser, no lineales. En la Economía se presentan infinidad de situaciones en que la forma de los modelos a utilizar no es lineal; adoptando formas muy diversas y complejas.

Un ejemplo de esto es la función de producción Cobb-Douglas, donde, de acuerdo con el modelo teórico, el nivel del producto depende en forma no lineal, de las salidas del proceso productivo. En ocasiones, una especificación no lineal en un modelo econométrico puede estar indicando la incertidumbre del investigador acerca de la verdadera relación entre las variables del modelo.

En muchas situaciones, con determinadas transformaciones del modelo, los mismos se pueden convertir en modelos lineales y por lo tanto se podrán aplicar las técnicas de regresión estudiadas. Para que se puedan transformar en lineales deben ser intrínsecamente lineales, ya que hay modelos que no se pueden transformar en lineales

Ya en la primera conferencia se vieron en general los modelos no lineales que pueden transformarse en lineales. Entre ellos está : Función de Producción de Cobb Douglas Se transforma en lineal mediante la aplicación del logaritmo:

Donde Q = producción, L = factor trabajo y K = factor capital. Los coeficientes  2 y  3 son las elasticidades de la producción respecto al trabajo y al capital respectivamente. La Función de Cobb-Douglas se utilizará para explicar como se trabajan los modelos no lineales, dada la importancia que tiene la misma en la Economía.

Vamos a verla a través de un ejemplo: A partir de los siguientes datos que se refieren a un sector industrial, se quiere estimar una función de producción del tipo Cobb-Douglas. 1.- Linealizar el modelo Se transforma en lineal mediante la aplicación del logaritmo esto es: Por propiedad de los logaritmos: log M p = p log M.

2.- Realizar el ajuste con el modelo linealizado El modelo a estimar, previamente linealizado es: Ln(Q) =  1 +  2 ln(L)+   3 ln(K) + ln(u) Las instrucciones son: QUICK/ESTIMATE ECUATION/LOG(Q) C LOG(L) LOG(K) Dependent Variable: LOG(Q) Method: Least Squares Date: 11/02/01 Time: 20:39 Sample: 1 12 Included observations: 12 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C LOG(L) LOG(K) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

3.- Dar las estimaciones de los parámetros del modelo original. El resultado obtenido: LOG(Q) = *LOG(L) *LOG(K) Para obtener la función de producción se calcula el antilogaritmo a C = , ya que el valor de “C” es equivalente al ln(A) o más bien a b 1. Y esto se logra a través de la siguiente instrucción: QUICK / GENERATE SERIE

Mod: 1 12 // Programando en el Eviews se ha obtenido el antilogaritmo del valor de C = LOG(Q) = *LOG(L) *LOG(K) Como se le buscó el antilogaritmo a “c” que es equivalente al coeficiente A, ó b 1, la función en su forma original será la siguiente: Q = L 0.43 K 0.25

Interpretación de los coeficientes   1, representa un promedio de efectividad neutral.  Indica la magnitud de la producción con unos gastos unitarios de recursos la cuál no depende de otras características del proceso de producción.

2 y 3 representan las elasticidades del factor trabajo y capital. β2 Indican que un incremento de un 1% en la utilización del factor trabajo lleva aparejado un incremento de la producción del 0.43%(exponente de L), manteniéndose estadísticamente constante el factor capital β3 El incremento de un 1% en el capital utilizado implicaría un crecimiento de la producción del 0.25%,(exponente de K) manteniéndose estadísticamente constante el factor trabajo

Como se ha planteado anteriormente referente al coeficiente de determinación, este R 2 = que se obtuvo en la salida donde se linealizó el modelo, corresponde al coeficiente de determinación del ln Q, no coincide con el valor del R 2, que explica la variación de Q. Por lo que no debe compararse nunca con un coeficiente de determinación obtenido en un modelo lineal donde la variable explicada sea Q.

RESIDUOS Ln(Q) Q

Determinación del verdadero valor de R 2, (el que le corresponde a Q) Esta se puede hallar programándolo en el Eviews. Las instrucciones serían: Primeramente se debe hallar la Q estimada, a través del Forecast, el que tiene implícito QF. Esto se hace para poder obtener los residuos de “Q” y no los del ln (Q), que son los residuos que proporciona la salida del modelo determinado anteriormente

QUICK/GENERATE SERIE/ 2.1 de haber hallado el Forecast en la ecuación de VALOR DE N* (EL VALOR DE LA MEDIA AL 2.4 R2A=1 - ((SCRES/EL VALOR DE N- K) / (SCT/EL VALOR DE N-1)) Recordar que para plantear elevar un valor a un exponente, se hace con el símbolo , presionando alt-94, se obtiene este simbolo ^ y posteriormente se pone el número al cuál se está elevando el valor, es decir si se quiere elevar al cuadrado “16” se plantea: 16^2.

Posicionándose en la pantalla principal del EViews  Modified: 1 12 // 12")  Modified: 1 12 // 12")  Modified: 1 12 // 12")- (12* ^2)  Modified: 1 12 // r2a=1-((scres/9)/(sct/11)) Esta es SCE media de Q Este es SCT es R2

Resumiendo : Linealizar el modelo aplicándole logaritmo Obtener la ecuación de regresión, donde los coeficientes de regresión  2 y  3 son las elasticidades. Construir el modelo original, para lo que se deberá determinar el antilogaritmo de “c”. Determinar el verdadero valor del coeficiente de determinación ajustado de “Q”

RESTRICIONES LINEALES

Hasta ahora se ha visto como contrastar hipótesis sobre parámetros individuales, pero puede interesar también hipótesis sobre funciones lineales de todos los parámetros, debido a criterios económicos. La teoría económica en muchos casos sugiere que los coeficientes de una relación han de cumplir una restricción lineal en el modelo.

Los postulados que se pudieran hacer: 1. Rendimiento constantes a escala La suma de los exponentes de la función debe ser la unidad (  2 +  3 = 1). Rendimiento constantes a escala, indica que la producción ”Q” crece en la misma proporción que crecen los factores.

2. Rendimiento a escala decreciente  La suma de los exponentes de la función deben ser menor que uno (  2 +  3  1).  Rendimiento a escala decreciente, indica que la producción “Q” crece en una proporción menor a lo que crecen los factores.

3.- Rendimiento a escala creciente  La suma de los exponentes de la función deben ser mayor que la unidad (  2 +  3  1).  Rendimiento a escala creciente, indica que la producción “Q” crece en una proporción mayor a lo que crecen los factores.

Estas restricciones se pueden tratar de dos maneras: 1.Ajustando la función libre de restricciones y verificar si los coeficientes estimados vienen a satisfacer la restricción con aproximación suficiente.(Esto se sabe sumando los coeficientes de  2 y  3 y se deben aproximar a 1)… Se obtiene SCRN 2.Incorporando la restricción en el proceso de ajuste de forma que los coeficientes estimados satisfagan la restricción exactamente …Se obtiene SCRR

 Vamos a estudiar sólo el caso en que se postula:  “Rendimiento constante a escala” esto es que (  2 +  3 = 1). Lo primero que se hará es ajustar la función libre de restricción y de aceptarse la hipótesis, de rendimiento a escala constante, se hace la transformación y la determinación de la ecuación de regresión correspondiente.

Las hipótesis que se plantearían serán: H 0 : (  2 +  3 = 1) H 1 : (  2 +  3  1). EEEEstadístico de Prueba: q: número de restricciones planteadas 1er paso: Determinar la Ecuación de Regresión No Restringida

2do Paso determinar la Ecuación de Regresión Restringida Digamos se supone una restricción para reflejar el postulado de la Teoría Económica de rendimiento constante a escala es decir que (  2 +  3 = 1), para ello es necesario hacer las transformaciones correspondientes, a partir del postulado.

Se modifica el modelo: Si (  2 +  3 = 1), entonces  2 = 1 -  3 y se plantea el modelo en función de  3. Haciendo las transform. correspondientes.  LnQ =  +  2 ln (L) +  3 ln(K) pero como  2 = 1 -  3 entonces  LnQ =  +  3  ln(L) +  3 ln(K) ahora la ecuación está en función de un parámetro.

Se efectúa el producto: LnQ =  + ln(L) -  3 ln(L) +  3 ln(K) y como el ln(L) queda sin coeficiente, entonces: (ln(Q) - ln(L)) =  +  3 (ln(K) - ln(L)) Haciendo los arreglos correspondientes, es decir, poniendo el ln(L) después por tener signo negativo y aplicando a esta ecuación una de las propiedades de los logaritmos: Log(M/N) = log M - log N

Se obtiene finalmente la ecuación transformada: Ln (Q/L) =  +  3 ln (K/L), Ejemplo: Vamos a ver el mismo ejemplo que veníamos desarrollando con la función de Cobb Douglas, en modelos no lineales. En este caso el modelo a estimar, previamente linealizado es: Ln(Q) =  1 +  2 ln(L)+   3 ln(K) + ln(u) por lo que las instrucciones serían QUICK/ESTIMATE ECUATION/LOG(Q) C LOG(L) LOG(K)

Dependent Variable: LOG(Q) Method: Least Squares Date: 11/02/01 Time: 20:39 Sample: 1 12 Included observations: 12 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C LOG(L) LOG(K) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Aquí se observa que la Ecuación es significativa ya que el p-valor de F = 0 El valor del rendimiento a escala es de , en la ecuación no restringida ( ), Que como se aprecia es menor que 1, pero que está próximo a este y la ecuación es significativa.

Determinación de la Ecuación de Regresión Restringida  Ecuación de regresión transformada: QUICK/ESTIMATE ECUATION/ LOG(Q/L) C LOG(K/L) Dependent Variable: LOG(Q/L) Method: Least Squares Date: 11/12/02 Time: 15:29 Sample: 1 12 Included observations: 12 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C LOG(K/L) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

A continuación se hace la prueba F 0 =  F T = F 0.95(1,9) = 5.12, no se rechaza H 0 Lo que indica que se cumple la restricción lineal.. H0 : (2+ 3 = 1) H1 : (2+ 3  1)

Y EN ESTA ECUACIÓN EL COEFICIENTE DEL LOG(K/L) REPRESENTA EL VALOR DE EL QUE INDICA LA ELASTICIDAD DE LA PRODUCCIÓN CON RESPECTO AL CAPITAL. El valor de: Por tanto, el modelo sería: Q = L K donde es el antilogaritmo de

Modified: 1 12 // La interpretación: b 1 = un promedio de efectividad neutral, es decir, da la magnitud de la producción con unos gastos unitarios de recursos, la cuál no depende de otras características del proceso de producción.

b 2 = un incremento de un 1% en la utilización del trabajo lleva aparejado un incremento de un 0.83% de la producción, manteniéndose estadísticamente constante el factor capital  b 3 = un incremento de un 1% de la utilización del capital lleva aparejado un incremento de un 0.17% de la producción, manteniéndose estadísticamente constante el factor trabajo.

YYYY recordar que el coeficiente de determinación que proporciona esta salida no corresponde a Q, sino al logaritmo de Q/L, de quererlo determinar habría que seguir el mismo proceso que se planteó anteriormente.

El Eviews tiene programado comprobar el cumplimiento del supuesto de restricción lineal. La denominada Prueba de Wald Se parte de la salida de la regresión, y en esa pantalla se utilizan las siguientes instrucciones: VIEW/COEFFICIENT TEST/WALD/ C(2)+C(3)=1, si lo que se quiere probar es que los coeficientes sean igual a 1. El Eviews considera que C2 + C3 corresponden a  2 +  3. El Eviews considera que C2 + C3 corresponden a  2 +  3. El programa admite plantear más de una restricción separadas las mismas por una coma.

A partir de esta salida: Dependent Variable: LOG(Q) Method: Least Squares Date: 11/02/01 Time: 20:39 Sample: 1 12 Included observations: 12 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C LOG(L) LOG(K) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Se obtiene: Wald Test: Equation: Untitled Null Hypothesis:C(2)+C(3)=1 F-statistic Probability Chi-square Probability VIEW/COEFFICIENT TEST/WALD/ C(2)+C(3)=1

A partir de este resultado, se observa que F =  F 0.95(1,9) = 5.12 por tanto, no Rechazo H 0. También se puede verificar por la probabilidad, es decir, p-valor =   = 0.05 luego, se llega a la misma conclusión: no se rechaza H 0, Se considera válida la restricción planteada.

Se usa el estadístico  2, para el caso en que las muestras sean grandes, mientras que el estadístico F se utiliza para muestras pequeñas, siempre que se cumplan los supuestos de independencia y normalidad en los residuos