Estadística Administrativa I 2016-1 Prueba de hipótesis

Prueba de hipótesis para 2 muestras USAP Prueba de hipótesis para 2 muestras Afirmación relativa a un parámetro de la población sujeta a verificación

USAP Prueba de Hipótesis Procedimiento basado en la evidencia encontrada en dos muestras y el uso de la teoría de probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.

5 pasos para probar una hipótesis Establecer la hipótesis nula y la alternativa Seleccionar el nivel de significancia Identificar el estadístico de prueba Formular la regla de decisión Tomar la decisión

Prueba para la media de dos poblaciones Desviación estándar conocidas 𝜇 1 , 𝜇 2 𝜎 1 , 𝜎 2

Prueba de hipótesis Distribución Normal Estadístico de prueba 𝑧= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2

Ejemplo 10.1 . . . El gerente de la empresa La Mejor S.A. de C.V. observó una diferencia en las ventas. Una muestra de 40 días reveló que los hombres venden una media de 140 mil por concepto de ventas por día. En otra muestra de 50 días, las mujeres vendieron una media de 150 mil. Suponer que las desviación estándar para los hombres es 20 mil y para las mujeres 25 mil. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿Puede concluir si la cantidad media de ventas es mayor para las mujeres? 1. Hombres 2. Mujeres 𝑛=40 𝑛=50 𝑋 =140 𝑋 =150 𝜎=20 𝜎=25

. . . Ejemplo 10.1 Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 : 𝜇 𝑚 ≤ 𝜇 ℎ 𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑚 ≤ 𝜇 ℎ Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05 Paso 3: Estadístico de prueba 𝑧= 𝑋 𝑚 − 𝑋 ℎ 𝜎 𝑚 2 𝑛 𝑚 + 𝜎 ℎ 2 𝑛 ℎ Para el positivo se debe utilizar <

. . . Ejemplo 10.1 𝑋 =203.5 𝑛=50 𝜎=16 Paso 4: Regla de decisión 1.65 𝐻 0 : 𝜇 𝑚 ≤ 𝜇 ℎ 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝛼=0.05 𝑧=1.65 2.11 Paso 5: Toma de decisión 𝑧= 150−140 25 2 50 + 20 2 40 = 10 22.5 =2.11 La hipótesis nula se rechaza.

. . . Ejemplo 10.1 Valor e p 𝑃 𝑧=2.11 =0.5−0.4826=0.0174 𝑝=0.0174 𝛼=0.05 𝑝<𝛼 La hipótesis nula se rechaza. Existe suficiente evidencia que indica que el promedio de ventas de los hombres de menor que el de los mujeres.

Prueba para la media de dos poblaciones Desviación estándar desconocidas 𝜇 1 , 𝜇 2 𝑠 1 , 𝑠 2

Prueba de hipótesis Distribución Estadístico de prueba t-Student 𝑡= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑠 𝑝 2 1 𝑛 1 + 1 𝑛 2 𝑠 𝑝 2 = 𝑛 1 −1 𝑠 1 2 + 𝑛 2 −1 𝑠 2 2 𝑛 1 + 𝑛 2 −2

Ejemplo 10.2 . . . Una fábrica de podadoras de césped está probando dos procedimientos distintos para el montaje del motor al chasis. La pregunta es: ¿Existe diferencia entre ellos con respecto al tiempo del montaje? El primer procedimiento es desarrollado por Herb Welles y el otro por William Atkins. Se midió el tiempo de montaje en una muestra de 5 empleados según el método de Welles y 6 con el método de Atkins. ¿Hay alguna diferencia entre los tiempos medios de montaje? Utilizar un nivel de significación de 0.10 Muestra

. . .Ejemplo 10.2 Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 : 𝜇 𝑤 = 𝜇 𝑎 𝐻 0 : 𝜇 𝑤 = 𝜇 𝑎 𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑤 ≠ 𝜇 𝑎 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.10 Paso 3:Estadístico de prueba 𝑡= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝑠 𝑝 2 ( 1 𝑛 1 + 1 𝑛 2 ) 𝑠 𝑝 2 = (𝑛 1 −1) 𝑠 1 2 +( 𝑛 2 −1) 𝑠 2 2 𝑛 1 + 𝑛 2 −2

. . .Ejemplo 10.2 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜇 𝑤 = 𝜇 𝑎 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝐻 0 : 𝜇 𝑤 = 𝜇 𝑎 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.10 𝑛 𝑤 =5 𝑛 𝑎 =6 𝑔𝑙=6+5−2=9 𝑡=±1.833 −1.833 1.833

. . .Ejemplo 10.2 𝑡=±1.833 Paso 5 : Toma de decisión 𝑋 𝑤 = 20 5 =4 𝑡= 𝑋 𝑊 − 𝑋 𝐴 𝑠 𝑝 2 ( 1 𝑛 1 + 1 𝑛 2 ) 𝑛 𝑤 =5 𝑋 𝐴 = 30 6 =5 𝑛 𝐴 =6 𝑠 𝑤 2 = 34 5−1 =8.5 𝑠 𝐴 2 = 22 6−1 =4.4 𝑠 𝑝 2 = 5−1 8.5+(6−1)4.4 5+6−2 =6.22

. . .Ejemplo 10.2 𝑡= 4.0−5.0 6.22( 1 5 + 1 6 ) = −1.0 6.22(0.37) = −1.0 1.510 =−0.662 𝑡=−0.662 -0.662 La hipótesis nula se acepta. No hay evidencia de que exista diferencia entre ambos métodos.

Prácticas

Práctica #1 Una muestra de 40 observaciones recolectada en Santa Rosa con desviación estándar poblacional igual a 5 tiene media muestral de102. Otra muestra de 50 observaciones recolectada en San Pedro tiene desviación estándar poblacional igual a 6 y media muestral 99. Realice la prueba de hipótesis para evaluar si hay diferencia entre ambas medias con nivel de significancia de 0.04. Análisis preliminar 𝑛 𝑆𝑅 =40 𝑛 𝑆𝑃 =50 Santa Rosa Santa Pedro 𝜎 𝑆𝑅 =5 𝜎 𝑆𝑃 =6 𝑋 𝑆𝑅 =102 𝑋 𝑆𝑃 =99

Desarrollo Práctica #1 𝐻 0 : 𝜇 𝑆𝑅 = 𝜇 𝑆𝑃 𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑆𝑅 ≠ 𝜇 𝑆𝑃 𝛼=0.04 Paso 1: Establecer la hipótesis nula y alternativa. 𝐻 0 : 𝜇 𝑆𝑅 = 𝜇 𝑆𝑃 𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑆𝑅 ≠ 𝜇 𝑆𝑃 Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia 𝛼=0.04 Paso 3: Estadística de prueba 𝑧= 𝑋 𝑆𝑅 − 𝑋 𝑆𝑃 𝜎 𝑆𝑅 2 𝑛 𝑆𝑅 + 𝜎 𝑆𝑃 2 𝑛 𝑆𝑃

Desarrollo Práctica #1 Paso 4: Formular la regla de decisión 𝐻 0 : 𝜇 𝑆𝑅 = 𝜇 𝑆𝑃 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.04 𝛼 2 = 0.04 2 =0.02 −2.05 2.05 𝑧=±2.05

Desarrollo Práctica #1 Paso 5: Toma de decisión 𝑧= 𝑋 𝑆𝑅 − 𝑋 𝑆𝑃 𝜎 𝑆𝑅 2 𝑛 𝑆𝑅 + 𝜎 𝑆𝑃 2 𝑛 𝑆𝑃 Paso 5: Toma de decisión 𝑛 𝑆𝑅 =40 𝑛 𝑆𝑃 =50 𝜎 𝑆𝑅 =5 𝜎 𝑆𝑃 =6 𝑋 𝑆𝑅 =102 𝑋 𝑆𝑃 =99 𝑧= 102−99 5 2 40 + 6 2 50 = 3 1.1597 2.59 𝑧=2.59 La hipótesis nula se rechaza.

Desarrollo Práctica #1 Fuerza de la decisión 𝑧= 𝑋 𝑆𝑅 − 𝑋 𝑆𝑃 𝜎 𝑆𝑅 2 𝑛 𝑆𝑅 + 𝜎 𝑆𝑃 2 𝑛 𝑆𝑃 Fuerza de la decisión 𝑝=0.5−𝑃(𝑧=2.59) 𝑝=0.5−0.4952 𝑝=0.0048 𝛼 2 =0.02 2.59 𝑝<𝛼 ⟹ La hipótesis nula se rechaza. Existe evidencia que indica que hay diferencia entre las medias de ambas poblaciones.

Práctica #2 El gerente de producción de Sillas Steel, fabricante de sillas de ruedas, desea comparar el número de sillas de ruedas defectuosas producidas en el turno matutino con el turno vespertino. Una muestra de la producción de 6 turnos matutinos y 8 vespertinos reveló el número de defectos siguiente. Matutino 5 8 7 6 9 Vespertino 10 11 12 14 Usando un nivel de significancia de 0.05, ¿hay alguna diferencia en el número medio de defectos por turno? Análisis preliminar Matutino 𝑛 𝑀 =6 Vespertino 𝑛 𝑉 =8

Desarrollo Práctica #2 Paso 1: Hipótesis nula y alternativa Matutino 5 8 7 6 9 Vespertino 10 11 12 14 Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 : 𝜇 𝑀 = 𝜇 𝑉 𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑀 ≠ 𝜇 𝑉 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05 Paso 3:Estadístico de prueba 𝑡= 𝑋 𝑀 − 𝑋 𝑉 𝑠 𝑝 2 ( 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝑉 ) 𝑠 𝑝 2 = (𝑛 𝑀 −1) 𝑠 𝑀 2 +( 𝑛 𝑉 −1) 𝑠 𝑉 2 𝑛 𝑀 + 𝑛 𝑉 −2

Desarrollo Práctica #2 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜇 𝑀 = 𝜇 𝑉 𝐻 0 : 𝜇 𝑀 = 𝜇 𝑉 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑛 𝑀 =6 𝑛 𝑉 =8 𝑔𝑙=6+8−2=12 𝑡=±2.179 −2.179 2.179

Desarrollo Práctica #2 𝑠 𝑝 2 = 6−1 2+ 8−1 3.8 6+8−2 =3.05 Paso 5 : Toma de decisión 𝑡=±2.179 𝑋 𝑀 = 42 6 =7 𝑡= 𝑋 𝑀 − 𝑋 𝑉 𝑠 𝑝 2 ( 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝑉 ) 𝑛 𝑀 =6 𝑋 𝑉 = 80 8 =10 𝑛 𝑉 =8 𝑠 𝑀 2 = 10 6−1 =2 𝑠 𝑉 2 = 19 8−1 =3.8 𝑠 𝑝 2 = 6−1 2+ 8−1 3.8 6+8−2 =3.05

. . .Ejemplo 10.2 𝑡= 7−10 3.05( 1 6 + 1 8 ) = −3 6.22(0.2917) = −3 0.943177 =−3.18074 𝑡=−3.181 -3.181 La hipótesis nula se rechaza. Hay fuerte evidencia que indica diferencia entre ambos turnos.

Para más información leer la página web F i n a l Para más información leer la página web www.lbanegas.com 𝐵𝑖𝑏𝑙𝑖𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎 Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson. 2006. Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall