CURSO DE MATEMATICAS MAESTRIA EN INGENIERIA TEXTIL Profr. Antonio ABURTO BARRAGAN

¿Qué es una ecuación diferencial? Toda expresión matemática conteniendo el símbolo de igualdad, conteniendo una o mas derivadas de una función y/o la propia funcion, funciones conocidas, constantes y todo separado por operaciones algebraicas

Ejemplos de ecuaciones diferenciales

Tipos de ecuación diferencial En los ejemplos anteriores: Las dos primeras son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias La primera es un ejemplo de ecuación diferencial lineal La ùltima es una ecuación diferencial en derivadas parciales

Tipos de ecuación diferencial La clasificación de ecuaciones lineales guarda analogía con la de ecuaciones algebraicas lineales Las ecuaciones algebraicas lineales en la variable “x” tienen la forma general Denominada ecuación algebraica lineal de grado n

Tipos de ecuación diferencial Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de “orden n” se definen con la expresión general: Las funciones Las derivadas son “derivadas ordinarias” de una funcion de una sola variable

Tipos de ecuación diferencial Las funciones a i (x) son denominadas “coeficientes” de la ecuación diferencial lineal ordinaria Si todas las funciones a i (x) son constantes, se dice que la ecuación diferencial es de “coeficientes constantes” La ecuación es denominada “ecuación diferencial lineal ordinaria de “orden n” con coeficientes constantes”

Tipos de ecuación diferencial Si al menos una de las funciones a i (x) no es constante, se dice que la ecuación diferencial lineal, es de “coeficientes variables” Se denomina: “ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables de orden n ” Hay otra clasificación, asociada al valor de la función b(x):

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas y No Homogeneas Cuando la función b(x) que aparece en los segundos miembros de las diferentes ecuaciones diferenciales lineales que hemos definido es igual a cero Se dice que se tiene una: “ Ecuación Diferencial lineal Homog é nea”. Hay dos tipos de esas ecuaciones: Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y homogénea Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables y homogénea

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas y No Homogeneas Cuando la función b(x) que aparece en los segundos miembros de las diferentes ecuaciones diferenciales lineales que hemos definido es igual a cero Se dice que se tiene una: “ Ecuación Diferencial lineal Homog é nea”. Hay dos tipos de esas ecuaciones: Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y homogénea Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables y homogénea

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas y No Homogeneas Cuando la función b(x) que aparece en los segundos miembros de las diferentes ecuaciones diferenciales lineales que hemos definido es diferente de cero Se dice que se tiene una: “ Ecuación Diferencial lineal No Homog é nea”. Hay dos tipos de esas ecuaciones: Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y no homogénea Ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes variables y no homogénea

EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Enseguida damos algunos ejemplos particulares de ecuaciones diferenciales lineales y su clasificación Ejemplo de ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con coeficientes variables y no homogenea Ejemplo de ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden con coeficientes variables y homogenea

EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: En la primera de las anteriores ecuaciones, el orden de la derivada mas alta es el primero, por esa razón la ecuación se clasifica como de primer orden La función que multiplica a f(x) no es constante, eso permite clasificarla como de coeficientes variables La función que aparece en el miembro de la derecha es diferente de cero, ello permite clasificarla como no homogenea

EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: En la segunda de las anteriores ecuaciones, el orden de la derivada mas alta es el tercero, por esa razón la ecuación se clasifica como de tercer orden La función que multiplica a f(x) no es constante, eso permite clasificarla como de coeficientes variables La función que aparece en el miembro de la derecha es igual a cero, ello permite clasificarla como homogenea

EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: La derivada de orden máximo en la ecuación diferencial determina el orden de la ecuación La homogeneidad o no, de la ecuación diferencial depende de las características de la función b(x) si es o no igual a cero Para la clasificación del orden de la ecuación diferencial, no importa que no aparezcan términos con derivadas de orden inferior (ver segunda ecuación)

EJEMPLOS DE LOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Observaciones: Si todos los coeficientes de las derivadas en cada termino de la ecuación, son funciones constantes, se trata de una ecuación de coeficientes constantes Notar que ninguna de las derivadas esta elevada a una potencia diferente de la unidad (eso determina la linealidad de la ecuación) La función solucion depende de una sola variable, esto determina que la ecuación se clasifique como ordinaria

ATRIBUTOS DE CLASIFICACION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL Los atributos principales de clasificacion por dar a conocer de una ecuación diferencial lineal son: Si es ordinaria (tipo de función solución) Orden de la ecuación Conocer el tipo de coeficientes (variables o constantes) Homogeneidad de la ecuación

Primer Tarea Clasificacion de ecuaciones diferenciales lineales

Tarea Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes constantes homogeneas Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes variables homogeneas Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes constantes no homogeneas Dar cinco ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de distintos ordenes y coeficientes variables no homogeneas

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGENA

Resolveremos la ecuación Multipliquemos ambos miembros por la función Resulta:

Calculemos la derivada de la función Resulta: Comparemosla con el miembro izquierdo de la ecuación

Identificando miembros de las dos ultimas ecuaciones resulta: De donde evidentemente, se tiene que: Se propone como solucion la funcion:

Comprobacion de la Solucion La funcion propuesta debe mostrarse que es Solucion. Debe sustituirse en la ecuacion diferencial original y obtener al final una identidad

CONCLUSION Podemos concluir que la solucion de la ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes y homogenea Es la funcion

Nota Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en diversas formas, presentamos una alternativa: Utilizando la representacion de la ecuación del lugar geométrico de la grafica de una función y = f(x) Podemos escribir en lugar de la ecuacion y su solucion: Representarlas por

Ejemplos de solucion de estas ecuaciones Resolver las ecuaciones

soluciones Resolvemos la primer ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

soluciones Resolvemos la segunda ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

soluciones Resolvemos la tercer ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

soluciones Resolvemos la cuarta ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

Anotación La ecuación diferencial de primer orden que hemos estado analizando y resolviendo: puede escribirse tambien como sigue Que es una escritura mas compacta

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES VARIABLES HOMOGENA

Resolveremos la ecuación Multipliquemos ambos miembros por la función Resulta:

Calculemos la derivada de la función Resulta: Comparemosla con el miembro izquierdo de la ecuación

Identificando miembros de las dos ultimas ecuaciones resulta: De donde evidentemente, se tiene que: Se propone como solucion la funcion:

Comprobación de la Solución La funcion propuesta debe mostrarse que es Solucion. Debe sustituirse en la ecuacion diferencial original y obtener al final una identidad

CONCLUSION Podemos concluir que la solucion de la ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes variables y homogenea Es la funcion

Nota Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en diversas formas, presentamos una alternativa: Utilizando la representacion de la ecuación del lugar geométrico de la grafica de una función y = f(x) Podemos escribir en lugar de la ecuacion y su solucion: Representarlas por

Anotación La ecuación diferencial de primer orden que hemos estado analizando y resolviendo: puede escribirse tambien como sigue Que es una escritura mas compacta

Ejemplos de solucion de estas ecuaciones Resolver las ecuaciones

soluciones Resolvemos la primer ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

soluciones Resolvemos la segunda ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

soluciones Resolvemos la tercer ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

soluciones Resolvemos la cuarta ecuacion Que tiene la forma

Comprobación Probemos que la función resultante es solución de

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES Y NO HOMOGENA

Resolveremos la ecuación Multipliquemos ambos miembros por la función Resulta:

Calculemos la derivada de la función Resulta: Comparemosla con el miembro izquierdo de la ecuación

Identificando miembros de las dos últimas ecuaciones resulta: De donde evidentemente, se tiene que: Se propone como solucion la funcion:

Comprobacion de la Solucion La funcion propuesta debe mostrarse que es Solucion. Debe sustituirse en la ecuacion diferencial original y obtener al final una identidad

CONCLUSION Podemos concluir que la solucion de la ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes y homogenea Es la funcion

Nota Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en diversas formas, presentamos una alternativa: Utilizando la representacion de la ecuación del lugar geométrico de la grafica de una función y = f(x) Podemos escribir en lugar de la ecuacion y su solucion: Representarlas por

Anotación La ecuación diferencial de primer orden que hemos estado analizando y resolviendo: puede escribirse tambien como sigue Que es una escritura mas compacta

TAREA 1 Encontrar 5 ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes constantes y no homogeneas, resolverlas y enviarlas por la plataforma

TAREA 2 Demostrar que las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes variables y no homogeneas tienen la forma Demostrando que su solucion general es

TAREA 3 Encontrar 5 ecuaciones de este tipo y encontrar su solucion general demostrando que la funcion encontrada es solucion de la ec. Diferfencial propuesta