Ministerio de Educación Colegio Beatriz Miranda de Cabal Republica de Panamá Ministerio de Educación Colegio Beatriz Miranda de Cabal Proyecto de examen de Matemáticas Profesor: Jesús Chacón Tema: Factorización Integrantes: Lytzi Acosta Laury Arenales Víctor Avilés Laura Martínez Johanny Méndez Joselyn Méndez Nivel: IX G Fecha de entrega: 30 de agosto del 2011 Año lectivo 2011

Índice Introducción Contenido Factorización (definición) Importancia y aplicación del algebra (factorización) Casos de Factorización: Trinomio de la forma 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Condiciones Reglas Ejemplos Trinomio de la forma 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Suma y diferencias de cubos Suma Diferencia Cuatrinomio cubo perfecto Características Practica Conclusión Bibliografía

Introducción En esta presentación estaremos presentando las diferentes formulas, leyes de la factorización para poder resolver los casos de: Trinomio de la forma 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 , Trinomio de la forma 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄, Suma y diferencias de cubos, Cuatrinomio cubo perfecto.

Factorización Es el proceso de encontrar dos o mas expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o mas factores.

Importancia y aplicación del algebra (factorización) Importancia del algebra:El algebra es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.  La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Juarismo, titulado Al-Cita al-Jabra wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Aplicación del Algebra

Factorización de Casos

Trinomio de la forma 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 (Condiciones) Tienen que cumplir con las siguientes condiciones: El coeficiente del primer termino es uno. El primer termino es una letra de cualquiera elevada al cuadrado. El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Reglas El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer termino es X, o sea la raíz cuadrada del primer termino del trinomio. En el primer factor, después de X se escribe el signo del segundo termino del trinomio, y en el segundo factor, después de X se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de 2ª termino del trinomio por el signo del 3ª termino del trinomio. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del 3ª termino del

tercer trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer termino del trinomio. El mayor de estos números es el segundo termino del primer binomio, y el menor, el segundo termino del segundo binomio.

Ejemplos Factorar: 𝒙 𝟐 +𝟓𝒙+𝟔= (x + 2) (x +3 ) 𝒙 𝟐 −𝟕𝒙+𝟏𝟐= 𝒙−𝟑 𝒙−𝟒 𝒙 𝟐 −𝟕𝒙+𝟏𝟐= 𝒙−𝟑 𝒙−𝟒 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟏𝟓= 𝒙+𝟓 𝒙−𝟑 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙−𝟏𝟒=(𝒙−𝟕)(𝒙+𝟐)

Trinomio de la forma 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 (Condiciones) Se diferencia de los trinomios estudiados en el caso anterior porque el primer termino tiene un coeficiente distinto a 1. Debe cumplir con las siguientes condiciones: Debe estar organizado de la forma correspondiente( es decir, debe coincidir con la formula) El primer termino debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de uno y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta. La variable que esta acompañando el segundo termino debe ser la raíz cuadrada del termino numero uno.

Ejemplos 20 𝑥 2 +7𝑥−6 (20) (20) (20) = 20 𝑥 2 +7𝑥−6 20 (20) (20) (20) = 20 𝑥 2 +7𝑥−6 20 = (20𝑥) 2 +7 20𝑥 −120 20 = 20𝑥+15 (20𝑥−8) 20 = 5 4𝑥+3 4(5𝑥−2) 20 =(4𝑥+3)(5𝑥−2)

Suma y diferencias de cubos (Suma) La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores : La suma de sus raíces cubicas. El cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. 𝑎 3 + 𝑏 3 raíz cubica de del primer termino a 3 es a, raíz cubica del primer termino b 3 es b. 𝑎 3 + 𝑏 3 =(𝑎+𝑏)( 𝑎 2 −𝑎𝑏+ 𝑏 2 )

Suma y diferencia de cubos (Diferencia) La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: La diferencia de sus raíces cubicas. El cuadrado de la primera raíz mas el producto de las dos raíces, ,as el cuadrado de la segunda raíz. 𝑎 3 − 𝑏 3 Raíz cubica del primer termino 𝑎 3 es a, raíz cubica de segundo termino 𝑏 3 es b. 𝑎 3 − 𝑏 3 =(𝑎−𝑏)( 𝑎 2 +𝑎𝑏+ 𝑏 2 )

Ejemplos 125− 𝑤 18 𝑧 36 =(5− 𝑤 6 𝑧 12 ) (5) 2 + 5 𝑤 6 𝑧 12 +( 𝑤 6 𝑧 12 ) 2 =(5− 𝑤 6 𝑧 12 )(25+5 𝑤 6 𝑧 12 + 𝑤 12 𝑧 24 ) 27𝑎 3 + 8𝑏 6 𝑐 9 =(3𝑎+2 𝑏 2 𝑐 3 ) (3𝑎) 2 −(3𝑎)(2 𝑏 2 𝑐 3 )( 2 𝑏 2 𝑐 3 ) 2 =(3𝑎+2 𝑏 2 𝑐 3 )(9 𝑎 2 −6𝑎 𝑏 2 𝑐 3 +4 𝑏 4 𝑐 6 )

Cuatrinomio cubo perfecto (Características) Debe cumplir con las siguientes características: Tiene cuatro términos. El primer y ultimo termino son cubos perfectos. El segundo termino es igual al triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer termino por la raíz cubica del cuarto termino. El tercer termino es igual al triplo de la raíz cubica del primer termino multiplicado por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo termino.

Ejemplos 8 𝑥 3 +12 𝑥 2 +6𝑥+1=( 2𝑥+1) 3 3 8 𝑥 3 =2𝑥 3 1=1 3 8 𝑥 3 =2𝑥 3 1=1 3 2𝑥 2 1 =3 4 𝑥 2 1 =12 𝑥 2 3(2𝑥)(1 ) 2 =6𝑥 8 𝑥 6 +54 𝑥 2 𝑦 6 −27 𝑦 9 −36 𝑥 4 𝑦 3 = (2 𝑥 2 −3 𝑦 3 ) 3 3 8 𝑥 6 = 2𝑥 2 3 27 𝑦 9 = 3𝑦 3 3 2 𝑥 2 ) 2 3 𝑦 3 =3 (4𝑥 4 3𝑦 3 =36 𝑥 4 𝑦 3 3 2 𝑥 2 3 𝑦 3 ) 2 =3(2 𝑥 2 9 𝑦 6 =54 𝑥 2 𝑦 6

Practica (3𝑥 ) 2 −5 𝑥3 −6 3 Trinomio de la forma 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄: 𝑥 2 −5𝑥+6= 𝑥−2 𝑥−2 𝑚 2 +5𝑚−14= 𝑚+7 𝑚−2 Trinomio de la forma 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐: 3 𝑥 2 −5𝑥−2= (3𝑥 ) 2 −5 𝑥3 −6 3 (3𝑥−3)(3𝑥+2) 3 3 𝑥−1 1(3𝑥+2) 3 (𝑥−1)(3𝑥+2)

Conclusión Al realizar este proyecto hemos concluido que: El algebra siempre se ha utilizado en la vida cotidiana. Para resolver diferentes casos de factorización tiene una formula. Cada caso de factorización tiene procedimientos diferentes.

Bibliografía Libro de Algebra de Baldor Material entregado por el profesor. Internet Teorema del tercer Trimestre IX ª.

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