Criticalidad auto-organizada Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http://carlosreynoso.com.ar

Objetivos (1/2) Plantear una pregunta crucial Para diversos sistemas con múltiples elementos relacionados de maneras complejas ¿hay algún mecanismo que explique al menos algo de su conducta, o ésta depende crucialmente de los detalles de cada sistema? Comprender la teoría de SOC como modelo que vincula diversas ideas de la complejidad Establecer posibilidades y limitaciones Examinar aplicaciones en ciencias sociales y biológicas – Definir recursos, herramientas y trabajos

Objetivos (2/2) Formular otras preguntas importantes: La criticalidad tiene que ver con transiciones de fase: ¿Qué teorías alternativas tienen las ciencias sociales al respecto? Además: Fuera del modelo evolucionista ¿qué modelos de cambio hay disponibles? En las series temporales o en los procesos colectivos ¿Qué dinámicas se manifiestan?

Agenda Contexto histórico Principales ideas y conceptos Temas conexos Ley de potencia Percolación Sociofísica Crecimiento biológico (Morfogénesis) Aplicaciones en antropología y otras disciplinas Herramientas y recursos

Criticalidad auto-organizada Per Bak [1948-2002]

How nature works

How nature works Gutenberg-Richter, terremotos

How nature works Mandelbrot, precios del algodón El exponente de la ley de potencia corresponde a la inclinación de la curva

Ley de potencia N(s) = s- Siendo s la intensidad de un terremoto, el número de terremotos de esa magnitud sería: N(s) = s- Un terremoto es probable proporcionalmente a la potencia inversa de su magnitud Dado que tanto la ley de potencia como la distribución lognormal son asintóticas, se propone esta regla: Una distribución es de ley de potencia si produce una línea recta en un gráfico log-log sobre 3 o más órdenes de magnitud (10-100-1000)

Ley de potencia La mejor forma de entenderla es mediante la ley de [Max] Kleiber (1930) La actividad metabólica escala a la ¾ potencia de la masa de un animal – Innumerables reportes en archivos* *Bateson – Espíritu y naturaleza, “El cuento del caballo poliploide”

How nature works Modelado

Criticalidad auto-organizada Pila de arena: avalanchas (Per Bak) Distribución de ley de potencia Rasgo fractal (cuenca de ríos, palabras en texto, terremotos, ciudades/tamaño, riqueza, extinción de especies en eras geológicas) Espectro de potencia 1/f No: estaturas, lotería; frecuencia estadística normal Auto-organización Comunicación y vecindad entre agentes No proporcionalidad de causa y efecto: un grano  reacción en cadena Independencia de objeto y escala (grano/tamaño) Fractales naturales – Instantáneas de procesos críticos (Tamás Vicsek)

Modelo de la pila de arena El nombre es puramente heurístico Se trató de un modelo de autómatas celulares con esa interpretación No fue una pila de arena real Las reglas que definen la dinámica del modelo derivan de su aparente relación con una pila de arena El experimento que popularizó la SOC (Bak, Tang, Wiesenfeld [BTW] 1987) es posterior al Método de Morin, por ejemplo

Modelo de la pila de arena

Modelo de la pila de arena

Metastabilidad Capacidad de un estado de no equilibrio de persistir cierto tiempo Usualmente se debe a una transición relativamente lenta Es una situación inestable y transitoria pero relativamente larga O bien: persiste en un cierto equilibrio si no se la perturba, pero pasaría a un equilibrio más estable si se la perturba suficientemente. Débilmente estable Transición inestable Fuertemente estable

Auto-organización Término introducido por Ross Ashby [disp.] Nada tiene que ver con subjetividad (Morin) ni con individualismo (autopoiesis) Interpretaciones cuestionadas por el propio Ashby Capacidad que tienen ciertos sistemas alejados del equilibrio (o disipativos) a desarrollar estructuras y patrones sin que haya manipulación o control por parte de un agente interno o externo Surgimiento de patrones en reacciones químicas, o de estructuras en biología En ciencias de la complejidad jamás se invocan causas externas

Invariancia de escala En mecánica estadística, es un rasgo de las transiciones de fase Cerca de una transición de fase o punto crítico, las fluctuaciones ocurren a todas las escalas Se debe buscar una teoría específicamente invariante de escala para describir el fenómeno (por ejemplo SOC) Universalidad: Sistemas muy diversos pueden exhibir conductas idénticas en transiciones de fase

Invariancia de escala A veces se dice que los fractales son invariantes de escala, pero más precisamente son autosimilares Algunos fractales pueden tener múltiples factores de escala simultáneos Estos son estudiados por el análisis multifractal Algunas distribuciones aleatorias también tienen invariancia de escala

Transiciones de fase Clasificación derivada de Ehrenfest, pero con otro significado Primer orden Discontinua. Involucran calor latente, régimen de clase mixta: agua en ebullición Segundo orden Continua. Más fáciles de estudiar. Poseen un punto crítico. Se las puede caracterizar mediante exponentes característicos. Fluctuaciones 1/f. Sistemas con los mismos exponentes críticos pertenecen a la misma clase de universalidad. Teoría del grupo de renormalización: Las propiedades termodinámicas de un sistema cerca de una transición de fase dependen de pocos rasgos (dimensionalidad, simetría) y no de la naturaleza microscópica del objeto.

Criticalidad En las cercanías de la fase crítica, una interferencia afecta no sólo a los vecinos próximos, sino a la totalidad del sistema. El sistema deviene crítico, en el sentido que todos los miembros se afectan mutuamente. Semejanza con el concepto de filo del caos Per Bak enfatiza afinidad con fractales, pero reniega de la teoría del caos También es crítico respecto de Prigogine & cía

Espectro de potencia Power spectrum – Según BTW, sería 1/f para la pila de arena. La densidad espectral, multiplicada por un factor adecuado, da la potencia de una onda por unidad de frecuencia. Habitualmente se mide en watts por herzio. Muchos de los gráficos de frecuencia en realidad muestran la densidad espectral. Es función de la frecuencia, no del tiempo; cuando se considera una serie temporal resulta un espectrograma.

Discusiones Las teorías super-generales siempre generan controversia entre los especialistas en los diversos campos. Se ha señalado un error de cálculo, de modo que el espectro de potencia no sería 1/f, sino 1/f2 Experimento de Oslo con granos de arroz, 1996. Vidar Frette, Kim Christensen, Anders Malthe-Sørenssen, Jens Fedder Funciona con granos largos, pero no con granos cortos. De modo que no sería tan universal, sino que estaría relacionado con las características materiales del sistema.

Aplicaciones

Pánico Tamás Vicsek Simulación Profesor de Física Biológica, Universidad de Eötvös Loránd. Vinculado al grupo de László Barabási. Autor de referencia de Per Bak en materia de formación de paisajes. Estudia actualmente fenómenos de sincronización (Strogatz), redes IE, fenómenos de multitud (boids, ola mexicana, casos de pánico).

Tamás Vicsek

Modelos de crecimiento Jaap Kandorp Fractal modelling growth and form in biology [disp.] Cómo surgen las formas en el proceso de crecimiento Sistematización de los modelos revisados en este seminario Vinculación de los principios fractales con principios constructivos (iterativos) y restricciones ambientales Poder predictivo de modelo como criterio de adecuación Saltos entre el individuo y el colectivo: del conocimiento del DNA de una gaviota no se puede predecir el comportamiento de una bandada Importancia de estas observaciones para las ciencias sociales

Modelos de crecimiento D’Arcy Thompson – Eventos en el tiempo, no sólo en el espacio Mecanismo de difusión por reacción (Turing, 1952) Las bases químicas de la morfogénesis Activadores e inhibidores Biología matemática JD Murray [disp] DLA – Witten/Sander, 1981 IFS, sistemas-L Construcciones geométricas iterativas (Kandorp) [disp] Crecimiento modular, crecimiento acretivo, modelos de influencias externas

Criticalidad y pánico Saloma, Pérez, Tapang Colas auto-organizadas y comportamiento independiente de escala en pánico real (2003) La gente va saliendo en ráfagas (bursts) de varios tamaños con una signatura en arco especial Se observa ley de potencia en el tamaño de las ráfagas cuando el ancho de la puerta es algo mayor que 1 (tamaño de persona) Cuando hay 2 puertas no se obtiene un throughput Q mayor que el doble Si las puertas no están suficientemente separadas, Q disminuye bastante Q es más elevado con gente relajada que con ansiosos

Sociofísica Nueva disciplina Tamás Vicsek Uso de física de sistemas complejos para el estudio de fenómenos colectivos Vinculada con sociedades y culturas artificiales y modelos basados en agentes Tamás Vicsek La “ola mexicana” Dietrich Stauffer, Serge Galam, Philip Ball Ola Simulación

Sociofísica Dietrich Stauffer Universidad de Köln Especialista en percolación y vida artificial Muchos aspectos de la teoría de percolación están tomados de la teoría de las transiciones de fase Aplicaciones no convencionales de física estadística Simulaciones de competencia entre lenguajes Libro de percolación disponible

Percolación Dos tipos De vínculo (bond) – Modelo de flujo por ligadura. De sitio (site) – Modelo de flujo por nodo. Estos modelos son los más generales. Un modelo de ligadura se puede reformular como uno de sitio sobre un enrejado diferente. Lo contrario no es posible. SimuLab/Blaze

Percolación de vínculo y sitio

Sociofísica – Serge Galam Estudio físico de la inercia política en la sociedad contemporánea Trabajó algún tiempo con Serge Moscovici Recupera las intuiciones de Schelling, Axelrod, Stauffer y otros Modelados Por ejemplo, el rumor francés (ningún avión cayó en el Pentágono) – Umbral crítico, usualmente algo bajo Percolación de soporte pasivo en los ataques del 9/11 [disp.]

Econofísica Considera que la economía clásica se basa en una termodinámica del equilibrio que es inaplicable a la realidad Brian Arthur Ricardo Mansilla Rosario Mantegna Eugene Stanley Hagen Kleinert econophysics.org

Psicofísica Se remonta a la ley de Weber-Fechner, bien conocida por Bateson Ernst Heinrich Weber [1795-1878], Fechner [1801-1887] Relaciona intensidad de un estímulo con la sensación producida Se percibe un cambio de 100 a 110, pero no de 1000 a 1010. Es una escala logarítmica. Suplantada ahora por la ley de Stanley Stevens [1906-1973]

Ley de Stevens l=kl  es la magnitud subjetiva del estímulo, l es la magnitud del estímulo físico,  es un exponente que depende del tipo de estímulo y k es una constante de proporcionalidad Obviamente, es una ley de potencia

1/f en la cognición humana Numerosos artículos en la bibliografía Jeffrey Pressing Eric-Jan Wagenmakers Van Orden y otros (críticos) Delignières (fractalidad de la autoestima)

Flock, Herd, Shoal, Boids

Flock, Herd, Shoal, Boids 3D Boids El modelo clásico de multitudes es el de Craig Reynolds, 1987 Modelo basado en agentes. Reglas de tipo Asimov: Separación: No estar muy cerca de los que vuelan cerca Alineamiento: Procurar que coincida la velocidad y dirección con las de los boids cercanos Cohesión: Navegar hacia el centro percibido de la masa de los boids vecinos No es un modelo de la totalidad, ni un modelo de las partes. Es un modelo de las relaciones inmediatas. El orden social y la estructura son emergentes de las interacciones locales. 3D Boids

Más de este tema en clase de modelos basados en agentes (MBA) Más de este tema en clase de modelos basados en agentes (MBA)* *Lo que habría que preguntarse ahora es: ¿cuál es el modelo de interacción y auto-organización emergente que se maneja en antropología (o, para el caso, en autopoiesis)? La respuesta correcta parece ser: ninguno

Andrea Rinaldo Universidad de Padova Formación de paisajes Ley de Horton (ley de potencia) en la formación de cuencas hidrológicas La tierra está organizada en estado crítico, fuera de equilibrio. Los paisajes son instantáneas de un proceso crítico dinámico.

Atascos de tránsito 1 Kai Nagel – Razones triviales o fuera de proporción Las congestiones son fractales, con mini-atascos anidados Es un proceso crítico con exponente de 1.5 La señal es una “escalera del diablo” Dynamics Solver IFS to Chaos

Atascos de tránsito 2 Kai Nagel, ahora con Heinz Herrmann Pruebas de varios modelos deterministas SOC, definida por el vehículo más lento Kai Nagel, con Steen Rasmussen Inutilidad sistemática de poner agentes que traten de optimizar su región local Maya Paczuski y Kai Nagel Atascos fantasmas generados por trivialidades, antes que por eventos importantes El estado óptimo de mayor eficiencia (con el mejor throughput) es un estado crítico con atascos de todos los tamaños

Aplicaciones Bentley (Wisconsin) / Maschner (Idaho) – SOC aplicada a lista de venta de discos Modelo crítico de extinción, agentes compitiendo por espacio limitado (top 200) Similar a otros modelos críticos de extinción Tiempo de persistencia en lista, “avalancha” (relación con número total que salen de la lista)

Aplicaciones Mark Lehner, “Fractal house of Pharaoh” y otros escritos [disp.] Mayor especialista en la construcción de las pirámides. No fueron esclavos. El antiguo Egipto como CAS Las dinastías, los reinos, los ciclos de orden y fragmentación se pueden pensar como sistemas críticos Ciclos anuales y periódicos caóticos (en el sentido matemático) – Las crecidas del Nilo Necesidad de un enfoque a nivel de agente, que es lo que faltó en la Nueva Arqueología

Aplicaciones Keitt (SFI), Marquet (UC Chile), 1995: Introducción y extinción de avifauna en Hawaii Shih-Kung Lai, evolución de ciudades Otros: modelos de propagación de incendios y enfermedades exhiben criticalidad

Aplicaciones arqueológicas Materiales de las excavaciones de Cesárea Reich, Leitus y Shalev encontraron ley de potencia y criticalidad en procesos de corrosión de plomo Aplicable a objetos enterrados en suelos con pH>6.5 Método de datación no destructivo

Aplicaciones en antropología y humanidades Bentley-Maschner: tipos cerámicos en Arizona y Nueva York (criticalidad organizada en aparición y extinción). Allen, Sanders: criticalidad aplicada a la expansión de ciudades. Asako Fukumoto, Ryta Mizumori – SOC of color information of impresionist’s art works. Harvey y Reed: paradigma iconológico.

Herramientas

Moduleco Modelo basado en agentes. Un poco incontrolable, pero se puede contactar a los responsables por problemas puntuales. Varios modelos Sugarscape, percolación, segregación, pequeños mundos, influencia social… SOC: bak

Modelos de pila de arena en AC Capow! 2004/2005 Tomar 2D Sandpile with Image Visualizar en 2 o 3 dimensiones Investigar otros modelos para entender la interpretación

NetLogo 3D Mejor implementación a la fecha

Otras herramientas Modelos de procesos colectivos en diversos programas de complejidad, dinámica no lineal y fractales Visions of Chaos Modelos de optimización basados en enjambres, ant colony, etc

Conclusiones (1/3) Uno de los conceptos fundamentales de la dinámica no lineal Ingredientes justos de polemicidad y relevancia Hay abundancia de crítica a SOC, 1/f, fractalidad dudosa, modelado ciego… Montones de aplicaciones en diversas disciplinas Pocas herramientas específicas – Muchas herramientas en áreas colaterales Fuerte vinculación con otras áreas de auto-organización Redes IE, agentes autónomos, fractales, percolación

Conclusiones (2/3) J. D. Murray – Biología matemática

Conclusiones (3/3) Poder hacer un modelo no es suficiente Siempre será necesaria una interpretación disciplinar (material) de los resultados Un modelo no explica, sino que en todo caso aclara algún aspecto Producir resultados temporal o espacialmente similares a la realidad es sólo un primer paso para entender los procesos dinámicos y plantear mejores problemas

Referencias Per Bak. 1996. How nature works.. Henryk Jensen. 1998. Self-organized criticality. Tamás Vicsek – Home page Dietrich Stauffer y Amnon Aharony. 1992. Introduction to percolation theory. Geoffrey Grimmet. 1992. Percolation. J. A. Kaandorp. 1998. Fractal modelling, growth and form in biology. J. D. Murray. 2002. Mathematical biology. An introduction.

¿Preguntas? Billyreyno@hotmail.com