02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL Dpto. de Física y Química BACHILLERATO FÍSICA 02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL R. Artacho Dpto. de Física y Química

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL ÍNDICE Precedentes de la ley de gravitación La ley de gravitación universal Consecuencias de la ley de gravitación universal Análisis de los factores que intervienen Las mareas

1 Precedentes de la ley de gravitación universal La fuerza que gobierna el movimiento de los astros es de tipo centrípeta, es decir, está dirigida hacia un puto. ¿Cuál es la causa de dicha fuerza? Kepler propuso que era de naturaleza magnética. Hooke y Halley suponían que era atractiva y centrípeta y que disminuía con el cuadrado de la distancia. Newton que esa fuerza era la misma que hacia que una piedra cayera al suelo. Supuso que la Luna “caía” de forma continua igual que un proyectil. Así halló que la aceleración de caída disminuía con el cuadrado de la distancia.

1 Precedentes de la ley de gravitación universal EJERCICIO 1 Supongamos que el movimiento de la Luna se compone de otros dos: uno de ellos de avance y otro de caída hacia la Tierra, regido este último por las ecuaciones de caída libre. Con estos datos que se te ofrecen, y siguiendo las sugerencias de la figura, contesta a las siguientes preguntas: ¿Qué ángulo se ha desplazado la Luna en 1 hora? ¿Qué altura h ha “caído” la Luna en esa hora? ¿Qué valor de la aceleración gL de caída corresponde a esa distancia y ese tiempo? ¿Cuántas veces es menor ese valor que el valor gT = 9,8 m/s2, que corresponde a la superficie terrestre? ¿Cuántas veces es mayor la distancia Tierra-Luna que el radio terrestre? ¿Qué relación puedes encontrar entre la variación de la aceleración y la de la distancia? Datos: RT = 6 370 km; dTL = 384 000 km; TL = 27,31 días. Luna Tierra h dTL 

1 Precedentes de la ley de gravitación universal 1.1. Las fuerzas centrípetas y el inverso del cuadrado de la distancia La fuerza centrípeta es, 𝐹 𝐶 =𝑚 𝑣 2 𝑟 =𝑚 𝜔 2 𝑟=𝑚 4 𝜋 2 𝑇 2 𝑟 Haciendo uso de la 3ª ley de Kepler, 𝐹 𝐶 =𝑚 4 𝜋 2 𝑘 𝑟 3 𝑟= 4 𝜋 2 𝑚 𝑘 · 1 𝑟 2 Las fuerzas que gobiernan los movimientos planetarios son centrípetas. Dichas fuerzas varían según el inverso del cuadrado de la distancia. Pero, ¿cuál era el significado físico de la constante k de la 3º ley de Kepler?

1 Precedentes de la ley de gravitación universal EJERCICIO 2 Teniendo en cuenta que la aceleración de “caída hacia la Tierra” es de aproximadamente 0,002 7 m/s2, y que esta aceleración se debe a una fuerza centrípeta que responde a la expresión: Determina el valor de k para el movimiento lunar despejándolo de dicha expresión. Compáralo posteriormente con el que se obtendría a partir de la tercera ley de Kepler. 𝐹 𝐶 = 4 𝜋 2 𝑚 𝑘 · 1 𝑟 2

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 2 La ley de gravitación universal Newton desarrolló en el III libro de los “Principios matemáticos de la filosofía natural” sus ideas sobre la gravitación. La ley de gravitación universal se formula de la siguiente manera: La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa (desde sus centros). 𝑚 𝑚′ 𝐹 =−𝐺 𝑚·𝑚′ 𝑟 2 𝑢 𝑟 𝐹 𝑚𝑚′ 𝐹 𝑚 ′ 𝑚 𝑢 𝑚𝑚′ 𝑢 𝑚′𝑚 𝑟 𝑚𝑚′ 𝐺=6,67· 10 −11 𝑁· 𝑚 2 / 𝑘𝑔 2

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 2 La ley de gravitación universal EJERCICIO 3 Si G = 6,67·10-11 N·m2/kg2, la masa de la Tierra = 6·1024 kg, y el radio de la Tierra = 6 370 km, determina: La magnitud de la fuerza con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g. La magnitud de la fuerza con que la piedra atrae a la Tierra. El valor de la aceleración que adquiere la piedra sometida a esa fuerza. El valor de la aceleración que adquiere la Tierra sometida a esa misma fuerza. La fuerza con que la Tierra atraerá a otra piedra cuya masa es de 10 kg, así como la aceleración que adquiere.

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 2 La ley de gravitación universal 2.1. Fuerzas gravitatorias en un conjunto de masas 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 3 𝑚 4 𝐹 21 𝐹 31 𝐹 41 𝐹 1 = 𝐹 21 + 𝐹 31 + 𝐹 41 = 𝑖=2 𝑛 𝐹 𝑖1 La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de masas es igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas individualmente.

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 2 La ley de gravitación universal EJERCICIO 4 Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determina el módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido a la presencia de las otras tres.

3 Consecuencias de la ley de gravitación universal 3.1. Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias Un cuerpo de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie de la Tierra, se halla sometido a una fuerza: 𝐹=𝐺 𝑀 𝑇 𝑚 𝑅 𝑇 +ℎ 2 Dicha fuerza le comunica una aceleración: 𝑎= 𝐹 𝑚 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑅 𝑇 +ℎ 2 La aceleración con la que cae a la Tierra un objeto de masa m solo depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto. La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si h << RT: 𝑎= 𝐹 𝑚 =𝐺 𝑀 𝑇 𝑅 𝑇 2 =9,8 𝑚/ 𝑠 2

3 Consecuencias de la ley de gravitación universal EJERCICIO 5 El diámetro de Venus es de 12 120 km y su densidad media es de 5 200 kg/m3. ¿Hasta que altura ascendería un objeto lanzado desde su superficie con una velocidad inicial de 30 m/s?

3 Consecuencias de la ley de gravitación universal 3.2. Significado físico de la constante k en la 3ª ley de Kepler 𝑇 2 =𝑘 𝑟 3 𝐹 𝑆𝑜𝑙 𝐺 𝑀 𝑆 𝑚 𝑟 2 =𝑚 𝜔 2 𝑟=𝑚 4 𝜋 2 𝑇 2 𝑟 𝑇 2 = 4 𝜋 2 𝐺 𝑀 𝑆 𝑟 3 𝑘= 4 𝜋 2 𝐺 𝑀 𝑆 Determinación de las masas planetarias Consideremos un satélite de un planeta 𝐺 𝑀 𝑃 𝑚 𝑟 2 =𝑚 4 𝜋 2 𝑇 2 𝑟 𝑀 𝑃 = 4 𝜋 2 𝑟 3 𝐺 𝑇 2

3 Consecuencias de la ley de gravitación universal EJERCICIO 6 El satélite de Júpiter llamado Ío tiene un período de revolución de 42 horas 29 minutos, y su distancia media a Júpiter es de 422 000 km. ¿Cuál es la masa de Júpiter?

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 4 Análisis de los factores que intervienen 4.1. La constante de gravitación universal G Newton no mencionó la constante G. Para calcularla sería necesario conocer la masa de la Tierra: Cavendish (1731 – 1810), utilizando la balanza de torsión, logro medir la constante G. O, dicho de otra forma, ¡logró medir la masa de la Tierra! La primera medida fue: El valor actual es de: 𝐺=𝑔 𝑅 𝑇 2 𝑀 𝑇 𝐺=(6,6±0,041)· 10 −11 𝑁· 𝑚 2 / 𝑘𝑔 2 𝐺=6,67· 10 −11 𝑁· 𝑚 2 / 𝑘𝑔 2

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 4 Análisis de los factores que intervienen 4.2. Masa inercial y masa gravitacional Masa inercial, mi, se define como la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo. Masa gravitatoria, mG, es la responsable de la interacción gravitatoria. ¿La masa inercial es a su vez responsable de la gravitación? 𝑔= 𝑚 𝐺 𝑚 𝑖 ·𝐺 𝑀 𝐺𝑇 𝑅 𝑇 2 𝐹=𝐺 𝑀 𝐺𝑇 𝑚 𝐺 𝑅 𝑇 2 = 𝑚 𝑖 𝑔 𝐹 Como g es la misma para todos los cuerpos, (mG/mi) siempre es igual para todos los cuerpos La masa inercial y la gravitacional son la misma magnitud Esta es la base del principio de equivalencia, fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad.

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 4 Análisis de los factores que intervienen 4.3. El inverso del cuadrado de la distancia 𝑚 𝑇 𝑟 1 𝑟 2 𝑚 𝐴 1 𝐴 2 Partimos de: La acción gravitatoria se distribuye por igual en todas direcciones. La masa del cuerpo está concentrada en su centro. 𝐹 1 𝐹 2 = 𝐴 2 𝐴 1 = 4𝜋 𝑟 2 2 4𝜋 𝑟 1 2 = 𝑟 2 2 𝑟 1 2 Ley del inverso del cuadrado de la distancia

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 4 Análisis de los factores que intervienen EJERCICIO 7 Si el período de un péndulo simple que oscila bajo ángulos pequeños viene dado por: ¿Qué le ocurriría a dicho período si lo alejáramos hasta el doble de la distancia que hay entre el péndulo y el centro de la Tierra? ¿Qué le ocurriría en ese mismo caso a la frecuencia de oscilación? 𝑇=2𝜋 𝑙 𝑔

02. GRAVITACIÓN UNIVERSAL 5 Las mareas Mareas vivas Mareas muertas