Recuerda. La circunferencia Tema: 10 Circunferencia y círculo 1 Matemáticas 1º Recuerda. La circunferencia La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro Centro Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. (Cada uno de los arcos iguales determinados por un diámetro se llama semicircunferencia.) Radio: cualquier segmento que une el centro con un punto de la circunferencia Al dividir la longitud de una circunferencia cualquiera entre su diámetro da siempre el mismo número, que se llama .  = 3,141592… (en los cálculos, toma  = 3,14) IMAGEN FINAL

Círculo 10 Recintos de un círculo Tema: 10 Circunferencia y círculo 2 Matemáticas 1º Círculo El círculo está formado por los puntos de la circunferencia y los puntos interiores a la circunferencia. La distancia del centro a los puntos del círculo es menor o igual al radio. Recintos de un círculo Sector circular Segmento circular Región comprendida entre dos radios y la circunferencia Región comprendida entre una cuerda y su arco Zona circular Corona circular Trapecio circular Limitada por dos cuerdas paralelas Región limitada por dos circunferencias concéntricas IMAGEN FINAL

Posiciones de rectas y circunferencias (I) Tema: 10 Circunferencia y círculo 3 Matemáticas 1º Posiciones de rectas y circunferencias (I) En las siguientes figuras se muestran las distintas posibilidades y el nombre de cada una de ellas. Exteriores Tangentes Secantes r < OP r = OP r > OP · · · r P r P r O O O P La recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común La recta y la circunferencia tienen un punto en común La recta y la circunferencia tienen dos puntos en común La recta es exterior a la circunferencia La recta es tangente a la circunferencia La recta es secante a la circunferencia IMAGEN FINAL

Posiciones de rectas y circunferencias (II) Tema: 10 Circunferencia y círculo 4 Matemáticas 1º Posiciones de rectas y circunferencias (II) En las siguientes figuras se muestran las distintas posibilidades y el nombre de cada una de ellas. Ningún punto en común Un punto en común Dos puntos en común Interiores Tangentes interiores Secantes Tangentes exteriores Exteriores IMAGEN FINAL

La mediatriz 10 Consideremos el segmento AB. Tema: 10 Circunferencia y círculo 5 Matemáticas 1º La mediatriz Consideremos el segmento AB. Con una regla hallamos el punto medio M. A M B La perpendicular al segmento AB por el punto M se llama mediatriz. Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de los extremos del segmento. P Si P es de la mediatriz, hay que ver que PA = PB. A B M I II Es así porque los triángulos I y II son iguales, pues: Tienen iguales dos lados: AM = MB; y PM, que es común. PA = PB El ángulo con vértice en M también es igual: es recto IMAGEN FINAL

Construcción de la mediatriz con el compás Tema: 10 Circunferencia y círculo 6 Matemáticas 1º Construcción de la mediatriz con el compás Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de los extremos del segmento. Esta propiedad sirve para construir la mediatriz con un compás. 1. Abre un compás con un radio mayor que la mitad del segmento AB. 2. Con el mismo radio, dibuja un arco con centro en B de modo que corte al anterior en los puntos P y Q. 3. Dibuja la recta PQ. Esta recta PQ es perpendicular al segmento AB. Dibuja un arco con centro en A. M es el punto medio de AB. Se cumple que: PA = PB y QA = QB En consecuencia, la recta PQ es la mediatriz del segmento AB. IMAGEN FINAL

La bisectriz 10 Trazamos un ángulo. Tema: 10 Circunferencia y círculo 7 Matemáticas 1º La bisectriz Trazamos un ángulo. Lo medimos con un transportador y señalamos un punto M en la mitad. M La semirrecta OM, que divide al ángulo en dos ángulos iguales es la bisectriz. O Todos los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de los lados del ángulo. B Si P es de la bisectriz, hay que ver que PA = PB, siendo PA y PB perpendiculares a los lados. O P I  II Es así porque los triángulos I y II son iguales, pues:  A Tienen un lado común: OP. Tienen dos ángulos iguales:  = ; PA = PB IMAGEN FINAL

Construcción de la bisectriz con el compás Tema: 10 Circunferencia y círculo 8 Matemáticas 1º Construcción de la bisectriz con el compás Todos los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de los lados del ángulo. Esta propiedad sirve para construir la bisectriz con el compás. 1. Traza un arco cualquiera con centro en O. 2. Con el mismo radio, dibuja un arco con centro en Q. 3. Con el mismo radio, dibuja otro arco con centro en P. Sea el arco PD. M es el punto de intersección. OM es la bisectriz del ángulo dado. Esto es así porque los triángulos OMP y OMQ son iguales. IMAGEN FINAL

Ángulos centrales y arcos Tema: 10 Circunferencia y círculo 9 Matemáticas 1º Ángulos centrales y arcos Sea la circunferencia de centro O y radio 4 cm. Con centro en O se traza el ángulo AOB. Se llama ángulo central. Su vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados contienen dos radios. El arco AB se dice que es el arco correspondiente al ángulo AOB. ( Si se trazan dos ángulos centrales iguales, también son iguales los arcos correspondientes. ( Dos ángulos centrales son iguales si lo son los arcos correspondientes, y recíprocamente. IMAGEN FINAL

Medida de ángulos centrales Tema: 10 Circunferencia y círculo 10 Matemáticas 1º Medida de ángulos centrales A un arco se le asigna la misma medida que a su ángulo central. Se miden en la misma unidad, en grados. Por ejemplo, un arco que abarque un cuadrante de circunferencia mide 90º; lo mismo que un ángulo recto. Y un arco que abarque una circunferencia completa valdrá 360º La medida de un ángulo central es igual a la de su arco, tomando como unidad de arcos el arco correspondiente a la unidad de ángulos. Ejemplo: Como consecuencia de lo dicho: Si una circunferencia se divide en 3 arcos iguales, cada ángulo central valdrá 120º. Si se divide en 4 partes iguales, 90º cada parte. Si se divide en 5 partes iguales, 72º cada parte. IMAGEN FINAL

La longitud de la circunferencia Tema: 10 Circunferencia y círculo 11 Matemáticas 1º La longitud de la circunferencia Vamos a calcular la longitud de la circunferencia de 1 euro. Para ello medimos su diámetro con ayuda de una regla y un par de cartabones. Sale 23,25 mm. Como la longitud de la circunferencia (L) dividida por el diámetro da el número , se tiene que: L = 3,14 × 23,25 = 73,005 Para cualquier otra circunferencia de diámetro d o radio r: La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L = d = 2 r IMAGEN FINAL

La longitud de la circunferencia. Ejercicios Tema: 10 Circunferencia y círculo 12 Matemáticas 1º La longitud de la circunferencia. Ejercicios La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L = d = 2 r Ejercicio 1. Calcula la longitud de la circunferencia de esta tuerca. L = d = 3,14 × 1,23 cm = 3,8622 cm Ejercicio 2. El radio de una rueda de una bicicleta mide 30 cm. ¿Cuánto avanza en cada vuelta? r = 30 Avanza lo que mide la longitud de su circunferencia: L = d = 2 r = 2 · 3,14 · 30 = 188,4 cm = 1,884 m. IMAGEN FINAL

Tema: 10 Circunferencia y círculo 13 Matemáticas 1º El área del círculo Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura: r Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo cuya base es la mitad de la longitud de la circunferencia y cuya altura coincide con el radio (r) . El área de un círculo es igual al número  por el cuadrado del radio: A =  r2 IMAGEN FINAL

El área del círculo. Ejercicios Tema: 10 Circunferencia y círculo 14 Matemáticas 1º El área del círculo. Ejercicios El área de un círculo es igual al número  por el cuadrado del radio: A =  r2 Ejercicio 1. El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área. 15 Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm. 30 Luego: A = 3,14 · 152 = 3,14 · 225 = 706,5 cm2 Ejercicio 2. ¿Qué área es mayor, la del círculo o la de los tres cuadrados? Cada cuadrado tiene un área de 1 cm2. Entre los tres, 3 cm2 1 cm El círculo tiene radio 1 cm. Su área es: A = 3,14 · 12 = 3,14 cm2 IMAGEN FINAL

Técnicas y estrategias (I) Tema: 10 Circunferencia y círculo 15 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias (I) Para construir polígonos regulares: DIVIDIR LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES Construcción de un cuadrado Se dibuja una circunferencia. Se trazan dos diámetros perpendiculares. Se unen consecutivamente los extremos de los diámetros. 90º A O 45º 90º La figura obtenida es un cuadrado, pues: 45º 45º B Los ángulos centrales miden 90º. El triángulo AOB es rectángulo e isósceles, luego sus ángulos A y B miden 45º cada uno. Cada ángulo mide 90º 45º + 45º = 90 IMAGEN FINAL

Técnicas y estrategias (II) Tema: 10 Circunferencia y círculo 16 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias (II) Para construir polígonos regulares: DIVIDIR LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES Construcción de un hexágono regular Se dibuja una circunferencia. B Se traza el radio correspondiente a un punto cualquiera A. 60º r r Con centro en A se traza un arco cuya cuerda mida r. 120º 60º 60º A r El triángulo OAB es equilátero; y cada uno de sus ángulos vale 60º. O Con lado OB se construye otro triángulo equilátero. Se repite el proceso hasta tener seis triángulos. El polígono obtenido por los segmentos que no son radios es un héxagono regular, pues: Los ángulos centrales miden 60º. Los ángulos del hexágono miden 120º: 60º + 60º = 120. Observa que todos los lados son iguales: miden 1 radio. IMAGEN FINAL