MATRICES Y DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS

Calcular 3A + B + C; 2B – C; 2C + A, donde

a) (-2A); b) 3(A+B); C) [(-7)+4] (B+A); d) La matriz opuesta de B. Si A = y B = , calcula: a) (-2A); b) 3(A+B); C) [(-7)+4] (B+A); d) La matriz opuesta de B. d) La matriz opuesta de B es –B =

Calcular el producto de A = y B =

Comprueba que (A·B)t = Bt·At, donde A = y B = . Por tanto: (A·B)t = Bt·At

Dadas las matrices A = , y B = , calcula At, (A+B)t, (AB)t, AtBt

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: donde: y En principio, tratamos el sistema de ecuaciones con incógnitas A y B, como si fuera un sistema escalar. Aplicamos el método de reducción: Sumamos las ecuaciones: 4·B = C + 3·D Por tanto: B = ¼ ·C + ¾ ·D Así pues: B = Por otra parte, de la segunda ecuación, A + 3B = D  3B – D = A Luego A =

Calcula A-1 c) Halla razonadamente A10 Dada la matriz A = Demuestra que se verifica la igualdad A3 + I = 0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. Calcula A-1 c) Halla razonadamente A10 a) Por tanto, es evidente que A3 + I = 0 b) Puesto que A3 = -I, entonces (–A2)A = I. Por tanto A–1 = - A2 = c) Puesto que A3 = – I, entonces (A3)2 = A6 =I. Y A9 = A6·A3 = – I. Por tanto A10 = –A

¿Es cierto en el cálculo matricial que “suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados”? Suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados: (a + b)·(a – b) = a·a – a·b + b·a – b·b = a2 – b2 Esto es cierto siempre y cuando a·b = b·a, es decir, que el producto sea conmutativo. Pero sabemos que, en general, si A y B son matrices, A·B  B·A. Incluso, uno de los dos productos puede no ser posible. Así pues, dicha afirmación NO es válida en el cálculo matricial.

Dadas las matrices A = , B = , y C = , resuelve la ecuación matricial AX + B = C. AX + B = C  AX = C – B  A–1AX = A–1(C – B)  X = A–1(C – B) Por tanto: X =

Para cualquier valor natural n, calcula An, donde A= Parece obvio que An = Por hipótesis de inducción completa, supondremos que An = Entonces, An+1 = A·An = que confirma la hipótesis.

  Calcular el rango de la matriz A = (F2 – 3F1) (F3 – 2F1) Suprimir F2 Observamos que: Por tanto r(A) = 3

Calcula los determinantes de las matrices A = y B = 0·7·(-5) + 3·1·2 + (-1)·8·4 - 2·7·8 - (-1)·3·(-5) - 4·1·0 = = 0 + 6 – 32 – 112 – 15 – 0 = -153 = C3 + 5C2 = [ 4·20  ]  - 70.48

Si el determinante de la matriz A = es –11, ¿cuánto valen los determinantes de las matrices B = y C = ? B = At. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Por tanto, det(B) =  11 Si en un determinante intercambiamos entre sí dos filas, el valor del determinante cambia de signo. Observamos que C se obtiene de realizar dos cambios de filas entre sí. Por tanto, se producirían dos cambios de signo, con lo que el valor de det(C) =  11

Demuestra que el valor de no depende de  Desarrollando por los adjuntos de la última columna: = sen2 + cos2 = 1 Donde hemos hecho uso de la ecuación fundamental de la trigonometría. Como el resultado final es 1, no depende del valor de .

Comprueba que |AB|=|A||B| para las matrices: A = y B = C3 + C1 = C3 – 13·C1 13·5·(-6) + 8·45·3 + 12·2·(-8) - 3·5·(-8) - 12·8·(-6) - 13·2·45 = = – 390 + 1080 – 192 + 120 + 576 – 1170 = 24 Por tanto: |A·B| = 24 = 8·3 = |A|·|B|

Dado que = 6, calcula: a) b) c) d) puesto que ha habido dos intercambios de filas. Por cada uno, hay un cambio de signo. (filas repetidas determinante cero) (F2 y F3 proporcionales) = 18 6

Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = Desarrollamos por la primera columna, porque tiene un cero = 1·[4·5 – (-7)·9] + 3·[2·9 – 4·3] = 83 + 18 = 101 Desarrollamos por la primera columna = 1·[b·c2 – c·b2]  1·[a·c2 – c·a2] + 1·[a·b2 – b·a2] = bc2 – b2c + a2c – ac2 + ab2 – a2b = = bc(c – b) + a2(c – b) – a(c2 – b2) = (c – b)(bc + a2 – ac – ab) = (c – b)[b(c – a) – a(c – a)] = = (c – b)(c – a)(b – a) ¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!

Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros Desarrollamos por la tercera fila -3·{(4 – 1)·[3·(-2) – 2·5]} = -3·3·(-16) = 144 Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros Desarrollamos por la primera columna = 4·(-27 + 36 – 63) = – 216 ¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!

Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = = 4·(– 4) – (–13)·9 = –16 + 117 = 101 = F3 – 3F1 = F2 – F1 F3 – F1 = (b – a)(c – a)[c + a – (b + a)] = (b – a)(c – a)(c – b) ¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE!

Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los adjuntos: A = B = C = D = Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros = C1 – C2 -3·3·[3·(-2) – 2·5] = -3·3·(-16) = 144 = C3 + C4 Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros = F2 + F1 F3 + F1 = 3·(8·12 – 8·21) = – 216 ¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE!

Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente: a) b) c) d) = 3·5·(2) = 30 = F3  F2 = F2 + (2/3)F1 = F3  F1 = C2  C1 = F2 – 7F1 F3 + 6F1 = 1·(2)· = 33 = F3 + (3/2)F2

Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente: a) b) c) d) = F1  F2 = F2  2F1 = F3 – 2F2 F4 – F2 = F4 + F3 =  1·1·(1)·6 = 6 = F2 + F1 = F4  2F3 = F5  F4 = 1·(1)·1·1·2 = 2

Calcula las matrices adjuntas de las siguientes: A = B = C = 1 Adj(A) = 2 1 1 2 1 3  2 5 Adj(B) = 4 2 5 5 3 7 k2  k  4 20  2k 3k  13 Adj(C) = k2 + 8k + 7 k2 + k  35 k2 + 3k  6 3k  25 10  4k k2 + 2k + 5

Calcula: a) (AB)1; b) (A1)t, siendo A y B las del ejercicio anterior (A·B) 1 = B 1·A 1 . Por tanto, calcularemos B 1 y A 1 det(A) = 1 det(B) = 1

Calcula el rango de las matrices siguientes: A = B = C = A tiene sólo dos filas, no proporcionales  r(A) = 2 = F3 – 2F1 F4 – F1 = F3 – 2F1 F4 – F1 r(B) = 4 = 99  r(C) = 3

¿Para qué valores de a y b tiene inversa la matriz A = ? Calcula A –1 = 0  a = 0 = b Por tanto, A tiene inversa si a  0, o bien, b  0

Calcula el determinante Se trata de un Vandermonde, por lo que el resultado pedido es: (2 – 3)·(2 – 4)·(2 – 5)·(3 – 4)·(3 – 5)·(4 – 5) = (–1)·(–2)·(–3)·(–1)·(–2)·(–1) = 12

Halla la matriz X que verifica que AXA = B, donde A = y B = A·X·A = B  A–1·A·X·A = A–1·B  X·A = A–1·B  X·A·A–1 = A–1·B ·A–1  X = A–1·B ·A–1 |A| = 1 Por tanto X =

Obtener la forma general de una matriz A de orden 2 que sea antisimétrica. Calcula A2, A4 y A33. Una matriz se llama antisimétrica si A = At. Por tanto, A = (I = matriz unidad 2X2) Así pues A4 = a4·I  A32 = (A4)8 = a32·I  A33 = A32·A = a32·I·A= a32·A =

Halla el rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a y b:  F1 – F3 Si a = 2, r(M) = 2 ya que el menor Si a  2, el menor Por tanto r(M)  2 En resumen: a = 2, y cualquier b, r(M) = 2 a  2. y b = 0, r(M) = 3 a = 1, y b = 1, r(M) = 2 a  2. a  1, y cualquier b, r(M) = 3

FIN DE ACTIVIDADES RESUELTAS (MATRICES Y DETERMINANTES)