Ecuaciones de tercer grado: un recorrido histórico Mario Dalcín Mónica Olave Instituto de Profesores Artigas

2 Duplicación del cubo Construir un cubo que tenga el doble de volumen que un cubo dado. Si a es la arista del cubo conocido y x la arista del cubo a construir, ¿cómo plantearíamos el problema en forma algebraica? x 3 = 2a 3

3 Desde la época de Hipócrates de Quíos (alrededor del 460 a. C.) se sabía que la solución al problema de la duplicación del cubo dependía de hallar dos medias proporcionales x e y que cumplieran: Explicitar el vínculo entre ambos problemas. ¿Qué relación debe existir entre a y b en la igualdad anterior para obtener la ecuación x 3 = 2a 3 ?

4 Arquímedes ( = 212) en Sobre la esfera y el cilindro (Proposición 4, Libro II) propone el siguiente problema: partimos en dos trozos una esfera de radio R mediante un plano que la corta a una distancia R – x del centro. Los volúmenes de cada uno de los trozos son respectivamente: Se trata de calcular x de manera que la relación entre ambos volúmenes sea un número m/n decidido de antemano. y

5 ¿De dónde salen las igualdades y Hallar una expresión para el tipo de ecuación que obtuvo Arquímedes.

6 Según Eutocio (alrededor del 560) la solución dada por Arquímedes al problema, que se ha perdido, consistía en hallar la intersección de una parábola y una hipérbola. Si la ecuación obtenida por Arquímedes es del tipo x 3 + b = ax 2, ¿qué parábola e hipérbola podría haber usado Arquímedes?

7 Alrededor del 625 un matemático llamado Wang Hs’iao-t’ung planteó el siguiente problema: Hay un triángulo en el cual el producto de sus “lados” es 706 1/5 y que su hipotenusa es más grande que uno de sus lados en 36 9/10. ¿Cuáles son las medidas de sus tres lados? Wang usó una ecuación de la forma x 3 + ax 2 – b = 0 ¿Cómo interpretar el problema para obtener la ecuación x 3 + ax 2 – b = 0 ?

8 ¿Cómo se podría afirmar la existencia de una raíz positiva? ¿Cómo se podría afirmar la existencia de una raíz positiva usando los gráficos de ambos miembros en x 3 = – ax 2 + b x 3 – b = ax 2 x 2 ( x + a) = b x 2 = b/ ( x + a)

9 En un trabajo preparado bajo la dirección del emperador Kanghy, que gobernó china desde 1662 al 1722, se dan nueve tipos de ecuaciones cúbicas, pero en todos los casos la solución es numérica y solo se da una raíz positiva. ¿Cómo se podría afirmar la existencia de una raíz positiva usando los gráficos de ambos miembros?

10 Bhaskara (alrededor de 1150) planteó la ecuación x x = 6x ¿Cuál es la raíz dada por Bhaskara a la ecuación? Hallémosla graficando x x y 6x ¿Cómo podríamos usar el hecho de que x x = x (x ) ?

11 Omar Jayyam (cerca ) en su Álgebra publicada en 1074 distingue catorce tipos de ecuaciones que no pueden ser resueltas recurriendo a las proposiciones que figuran en los Elementos de Euclides (siglo III a. C.). Las resuelve por medio de la intersección de secciones cónicas: de dos parábolas de circunferencia y parábola de hipérbola y parábola de dos hipérbolas.

12 Para una ecuación de la forma x 3 + b 2 x = b 2 c Jayyam dice que equivale a hallar las soluciones comunes a (1) x 2 = by (2) y 2 = x(c - x) ¿Es correcto lo que afirma Jayyam? Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones.

13 x 3 = c x 3 + bx = c x 3 + c = bx x 3 = bx + c x 3 + ax 2 = c x 3 + c = ax 2 x 3 = ax 2 + c x 3 + ax 2 + bx = c x 3 + ax 2 + c = bx x 3 + bx + c = ax 2 x 3 = ax 2 + bx + c x 3 + ax 2 = bx + c x 3 + bx = ax 2 + c x 3 + c = ax 2 + bx

14 De aquí en adelante consideraremos resolver la ecuación cúbica a encontrar una expresión para sus raíces en la que sólo intervengan los coeficientes de la ecuación vinculados por un número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces.

15 Leonardo de Pisa ( = 1240), conocido como Fibonacci, dice que le fue propuesto el problema de hallar un cubo que con dos cuadrados y diez raíces debe ser igual a 20. x 3 + 2x x = 20 ¿Cómo expresar el problema en forma algebraica? Resolver la ecuación.

16 Por lo que debe ser x > 1. Su método para resolverla fue el siguiente: por lo que debe ser x < 2 Pero = 13 < 20

17 Si x = a/b es una fracción, entonces no puede ser racional por lo que x debe ser irracional. Se cumple que y como x es irracional, digamos tendremos lo que es imposible.

18 ¿Cómo justificar cada una de las afirmaciones de Fibonacci? Leonardo de Pisa termina su análisis del problema afirmando que x = 1º 2’ 7’’ 42’’’ 33 iv 4 v 40 vi ¿Cómo interpretar este número? ¿Es solución de la ecuación?

19 Un autor anónimo del siglo XIII consideró dos ecuaciones cúbicas, una del tipo ax 3 = cx + k y otra del tipo ax 3 = bx 2 + k. En el primer caso su método es el siguiente: de donde asume que ¿En qué se basa dicho autor para considerar esta solución?

20 Rudolff, matemático alemán, en 1525, halla la raíz positiva de tres ecuaciones numéricas de tercer grado. Su método es el siguiente: de donde x = 12.

21 Explicar cada paso del método sugerido por Rudolff. ¿Es posible, basándose en el procedimiento anterior, generar una ecuación de tercer grado que tenga una raíz dada? ¿Funciona siempre el procedimiento de Rudolff?

22 La ecuación cúbica en los inicios del Renacimiento

23 Los primeros progresos de la técnica matemática se realizaron en el Álgebra. La primera Álgebra completa impresa, la de Luca Pacioli (1494), contenía el problema de ecuaciones de tercer grado, que fueron resueltas por primera vez por Tartaglia (cuyo auténtico nombre es Nicolo Fontana de Brescia).”

24 Esa primer Álgebra mencionada y publicada en 1494 en Venecia tuvo por título Summa de aritmética, geométrica, proportioni et proporcionalita. Fue el segundo tratado de importancia después del Liber abaci de Fibonacci publicado en 1202 a excepción del Triparty en la science des nombres de Nicolás Chuquet publicado en Francia en 1484 pero de escasa difusión.

25 “Los conocimientos algebraicos que aparecen en la Summa –inventario del saber matemático de la época- pueden resumirse así: se sabe resolver ecuaciones de primero y de segundo grado o de grado superior reducibles a cuadráticas. En cuanto a las ecuaciones de tercer grado o superior, o existe escepticismo al respecto o se considera su solución imposible (Pacioli); el álgebra sigue siendo retórica, es decir, se hace con palabras, con la excepción de algunos símbolos, abreviaturas o palabras especiales para indicar ciertas operaciones o las potencias de la incógnita. Por lo demás, todos los problemas y ejemplos se dan con números particulares, enteros o fraccionarios, pero siempre positivos.”

26 “Cronológicamente, la primera noticia que se dispone acerca de la solución de una ecuación cúbica (en el caso: cubo más cosa igual número; es decir, con nuestros símbolos x 3 + px = q, con p y q positivos) es la que atribuye esa solución al profesor boloñés Scipione Dal Ferro en los primeros años del siglo. Pero ni se conoce esa solución ni se ha logrado encontrar la libreta de apuntes en la que esa solución habría quedado consignada.” (Babini)

27 ¿Cuál puede haber sido el camino seguido por Dal Ferro para hallar su solución? Sestier (1989) plantea lo siguiente: Del Libro X de los Elementos de Euclides: ¿Es tan obvia la igualdad? La igualdad anterior implica que es raíz –positiva – de la ecuación de segundo grado sin término en x :

28 Scipione Dal Ferro se puede haber preguntado si el número ‘análogo' ¿no sería raíz cúbica de un binomio? ¿Es raíz cúbica del binomio ? ¿Y del binomio ? ¿Habrá algún binomio? ¿Puede escribir una ecuación de tercer grado de la cual sea raíz?

29 ¿ es raíz de la ecuación ? Teniendo en cuenta el punto anterior ¿ante qué tipo de ecuación de tercer grado estamos? ¿Coincide el tipo de ecuación que se origina a partir de lo que plantea Sestier con el tipo de ecuaciones que afirma Babini?

30 En la ecuación, haciendo y q = 2a tenemos la ecuación x 3 = px + q. ¿Cómo se pueden hallar a y b en función de p y q? Hallar x en función de p y q. (Recordar que )

31 x 3 = px + q