Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas

Esquema... La empresa: Producción Optimización Estática comparativa Mercados

El problema de la optimización Tendremos que plantear y resolver un problema estándar de optimización Hagamos una lista de sus componentes ... Y resolvámoslo

Objetivos Restricciones Método La optimización Maximización de beneficios -Tecnológicas y económicas -Primal -Dual

La función objetivo P zi Y Usamos información sobre precios.. wi precio del input i P Precio del output …y sobre cantidades… zi cantidad del input i Y cantidad del output Cómo se hace …para construir la función objetivo

S wi zi S wi zi La función objetivo P Y P Y – m i=1 m i=1 Coste de los inputs: para los m inputs Ingresos: P Y Restamos C de I: S wi zi m i=1 Beneficios: P Y –

Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

Optimización: el problema primal Elegimos Y y z que maximizan: S wi zi m i=1 P := P Y – ...sujeto a la restricción tecnológica... Podríamos escribirlo: zZ(Y) Y £ F(z) ...y a restricciones obvias: No podemos tener valores de output o inputs negativos Y ³ 0 z ³ 0

Método de optimización Si F es diferenciable… Planteamos el Lagrangiano L (... ) Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) ¶  L (... ) = 0 ¶z c. necesaria Verificamos las conditiones de segundo orden ¶2  L (... ) ¶z2 c. suficiente Usamos las CPO para caracterizar la solución z* = …

El equilibrio de la empresa Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve el siguiente problema optimizador: Max P(Y,z)=PY- wi zi s.a: Y = F (z) En el caso de dos bienes m=2, obtención de Y, z1 , z2 que solucione: Max P(Y, z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2 s.a: Y = F ( z1 , z2 ) donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos Con signo =

El equilibrio de la empresa: derivación análitica Solución:  P/  z1 = 0  P Y/z1 = w1  P /  z2 = 0  P Y/z2 = w2  P Pmg z1 = w1  P Pmg z2 = w2

Oferta de producto y demanda de factores Pmgz1 = w1/P F(z) Y* Y* y z1* óptimos z z1* 1

El equilibrio de la empresa: derivación análitica (2) Solución: Pmg z1 w1 Pmg z2 w2 RMST

Demanda de factores z2* / z1* A isocuanta por Y* z2* z1*

Demanda de factores A' A z2 z1 z2* / z1* z1* y z2* óptimos z2* z1* Pmgz1/Pmgz2=w1/w2 A z2* (Y*) z1 z1*

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores El equilibrio de la empresa nos va a servir para estudiar las respuestas óptimas de la empresa ante variaciones en los precios Se trata de efectuar ejercicios de estática comparativa y observar las distintas situaciones de equilibrio ante condiciones cambiantes Toda esta información se trasmite a través de las funciones de oferta de producto y demanda de factores:

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores función de los precios Y* = Ys (P,w1 ,...,wm ) z1* = z1d (P,w1 ,...,wm ) ... ... ... zm* = zmd (P,w1 ,...,wm ) ü ý þ

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores La f. de oferta es no decreciente en el precio P La f. de demanda de factores es no creciente en sus precios Homogéneas de grado 0 en P y w

Las funciones de beneficios Si introducimos Ys (P,w1 ,w2 ), z1d (P,w1 ,w2 ) y z2d (P,w1 ,w2 ) en la definición de los beneficios obtenemos la función de beneficios: P (P,w1 ,w2 ) = P Ys (P,w1 ,w2 ) - w1z1d (P,w1 ,w2 ) -w2 z2d (P,w1 ,w2 ) Indica el máximo beneficio obtenible con los precios del sistema (es análogo a la f. indirecta de utilidad en el problema primal del consumidor)

Las funciones de beneficios La f. de beneficios es no decreciente en el precio del producto P La f. de beneficios es no creciente en los precios deos factores Homogéneas de grado 1 en P y w Lema de Hotelling...

Las funciones de beneficios Lema de Hotelling: dP (P,w1 ,w2 ) /dP= Ys(P,w1 ,w2 ) dP (P,w1 ,w2 ) /dw1= - z1d(P,w1 ,w2 ) dP (P,w1 ,w2 ) /dw2= - z2d(P,w1 ,w2 )

Práctica Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de beneficios de: Y= z11/2 z2 1/2 Y= (z11/2 + z2 1/2)2 Comprueba el lema de Hotelling .

Práctica Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de producción dada la función de beneficios: Π=p2 (1/4z1+1/z2 ) .

Una advertencia Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en todo el análisis. No obstante …algunas veces llegamos a resultados ambiguos …otras veces el resultados está indefinido Por lo tanto es conveniente comprobar si este método es el apropiado Probablemente debamos usar otro método para encontrar el óptimo Veremos ejemplos en el problema dual…

Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas