Ecuación de la recta

DEFINICION DE PENDIENTE La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (de un plano cartesiano ), suele ser representado por la letra , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

Cálculo de la pendiente que pasa por dos puntos de una recta Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2). 0 x y P2(x2; y2) y=y2 - y1 P1(x1;y1) x=x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1 m =

Ecuación de la recta, a través de la forma punto pendiente: y-y1=m (x-x1) La ecuación de la recta de pendiente m, y un punto de Ella (x1, y1) es: X Y y - y1 = m(x - x1) (x1, y1)

Pendiente y coeficiente de posicion de la recta . La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es: Ecuación pendiente ordenada al origen y = m x+b X Y b y = mx + b

y = b x = a b a RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL recta recta // ecuación horizontal al eje X y = b a b y = b x = a recta recta // ecuación vertical al eje Y x = a

Ecuación de la recta Forma general Ax + By + C = 0 Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. 1 -1 2 3 4 5  L x y Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores Gráfico X Y (x, y) 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5) Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

Ecuación Principal de la Recta Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0 Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal. Ecuación General 2x – y- 1 = 0 Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1 Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo -Y = -2x + 1 / : - 1 Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta. Donde: m = 2 n= -1 Importante Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

Comportamiento de la recta según , valor de la pendiente x y x y Si m<0 la recta l es decreciente Si m>0 la recta l es creciente m>0 m<0 Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o x y Toda recta horizontal tiene m = 0 x y

¿Cómo encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica? 10.060.209-1 ¿Cómo encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica? Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta. Por ejemplo: Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación 1 -1 2 3 4 5  L x y donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta. ( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta. Por lo tanto remplazando tenemos: m = = = = -1 Luego la pendiente m = -1

Posiciones relativas de dos rectas en el plano 10.060.209-1 Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones: Que sean Paralelas b) Que se intercepten c) Que sean Coincidentes 1 -1 2 3 4 5  L x y 1 -1 2 3 4 5  L x y 1 -1 2 3 4 5  L x y

10.060.209-1 Rectas Paralelas Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales: Es decir: Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2 x1 x2 y1 y2 L  x2 – x1 y2 – y1  x y L2

Ejemplo Grafiquemos las rectas de ecuaciones 10.060.209-1 Ejemplo Grafiquemos las rectas de ecuaciones y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 En el mismo plano cartesiano

Rectas Perpendiculares 10.060.209-1 Rectas Perpendiculares Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares. si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + n L2 es una recta de ecuación y= m2x +n L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1 x1 x2 y1 y2 L  x2 – x1 y2 – y1  x y L1

GRAFICA DE RECTAS PERPENDICULARES 10.060.209-1 GRAFICA DE RECTAS PERPENDICULARES Grafiquemos las rectas de ecuaciones y = 4x + 3 y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano

Rectas Coincidentes Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto. Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2 L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta. x1 x2 y1 y2 L1   x y L2