RAZONES PROPORCIONES PORCENTAJES Presentación realizada por Roberto Muñoz Villagrán ramv. RAMV.1

RAZONES Una razón es una comparación que se establece mediante Cuociente o División Una razón la podemos escribir de dos formas: o también En ambos casos se lee “a” es a “b” RAMV.2

Términos de una razón Los términos de una razón se denominan: Antecedente Consecuente RAMV.3

Significado Decir que en un curso los hombres y las mujeres están en la razón “DOS ES A TRES” (2:3) respectivamente, significa que: Por cada dos Hombres hay tres mujeres en el curso. RAMV.4

Como resolver un problema relativo a razones Problema: Don Luis tiene tres nietos: Ángel, Juan y Mario, cuyas edades son 12, 8 y 6 años respectivamente. Además posee una bolsa con 130 dulces, los cuales va a repartir entre sus nietos. La repartición no la hará en partes iguales, sino en la misma razón que están las edades de sus nietos. Al repartirlos de esta manera. ¿Cuántos dulces recibe cada uno?. RAMV.5

SOLUCIÓN Como los dulces serán repartidos en la razón 12:8:6 (razón entre las edades de cada nieto), debemos formar 26 grupos o “montoncitos” de dulces (12+8+6=26) Ahora veremos cuántos dulces debe tener cada “montoncito”, para ello dividimos el total de dulces por la cantidad de grupos que formamos 130:26=5 Esto quiere decir que cada grupo tendrá 5 dulces RAMV.6

AHORA BIÉN Ángel tiene 12 años, por lo tanto recibirá: 12*5=60 dulces Juan tiene 8 años, por lo tanto recibirá: 8*5=40 dulces Mario tiene 6 años, por lo tanto recibirá 6*5=30 dulces Si compruebas =130 dulces que tenía la bolsa RAMV.7

Razones Equivalentes Dos razones son equivalentes, cuando expresan la misma comparación Así por ejemplo, las razones son equivalentes Ambas expresan la misma comparación Cada 3 Azules Cada 6 Azules Hay 4 rojos Hay 8 Rojos RAMV.8

Como encontrar razones equivalentes Para encontrar razones equivalentes a una razón dada, podemos hacerlo por: A) Amplificación B) Simplificación RAMV.9

A) POR AMPLIFICACIÓN Amplificando por 2 Amplificando por 3 Amplificando por 4 RAMV.10

B) Por Simplificación Simplificando por 2 Simplificando por 3 Simplificando por 4 RAMV.11

PROPORCIONES Una proporción es una igualdad de dos razones equivalentes Una proporción la podemos anotar de dos maneras: o también: En ambos casos de lee “a” es a “b” como “c” es a “d” RAMV.12

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN Los términos de una proporción se denominan de la siguiente manera: Extremos Medios RAMV.13

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES En toda proporción se cumple que, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Por ejemplo, en la proporción: Se cumple: RAMV.14

Aplicando la propiedad fundamental, se puede encontrar el término desconocido de una proporción RAMV.15

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 1) Intercambiar los extremos _____ = ______ RAMV.16

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 2) Intercambiar los medios _____ = ______ RAMV.17

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 3a) Componer ________ = _________ RAMV.18

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 3b) Componer ________ = _________ RAMV.19

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 4a) Descomponer ________ = _________ RAMV.20

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 4b) Descomponer ________ = _________ RAMV.21

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 5) Componer y Descomponer a la vez ________ = _________ RAMV.22

Aplicaremos todas las propiedades vistas, para la siguiente proporción RAMV.23

1) Intercambiar los extremos Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 1) Intercambiar los extremos _____ = ______ RAMV.24

Intercalar los medios Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 2) Intercambiar los medios _____ = ______ RAMV.25

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 3a) Componer ________ = _________ RAMV.26

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 3b) Componer ________ = _________ RAMV.27

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 4a) Descomponer ________ = _________ RAMV.28

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 4b) Descomponer ________ = _________ RAMV.29

Algunas propiedades de las proporciones Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras: 5) Componer y Descomponer a la vez ________ = _________ RAMV.30

PROPORCIÓN DIRECTA Observemos la siguiente tabla de valores En primer lugar, cuando la variable X aumenta, la variable Y también aumenta. Segundo, si efectuamos los cuocientes entre los valores de Y con los respectivos valores de X, obtenemos: Siempre se obtiene un mismo valor (CONSTANTE) X Y34,57,5910,512 RAMV.31

Cuando esto ocurre, es decir: 1) Si al aumentar la variable X, la variable Y, también aumenta. 2) Los cuocientes entre los respectivos valores de las variables es siempre el mismo. Diremos que las variables son: DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Al valor de los cuocientes, se le llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD RAMV.32

Gráfica de una proporción directa Si efectuamos la gráfica de los valores de la tabla, tenemos: X Y34,57,5910,512 RAMV.33

Podemos concluir que: La gráfica de una Proporción directa, es una Línea recta que pasa por el origen. RAMV.34

PROPORCIÓN INVERSA Observemos la siguiente tabla de valores En primer lugar, cuando la variable X aumenta, la variable Y disminuye. Segundo, si efectuamos los productos entre los valores de Y con los respectivos valores de X, obtenemos: Siempre se obtiene un mismo valor (CONSTANTE) X Y421,610,80,5 RAMV.35

Cuando esto ocurre, es decir: 1) Si al aumentar la variable X, la variable Y, disminuye. 2) Los productos entre los respectivos valores de las variables es siempre el mismo. Diremos que las variables son: INVERSAMENTE PROPORCIONALES. Al valor de los PRODUCTOS, se le llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD RAMV.36

Gráfica de una proporción inversa Si efectuamos la gráfica de los valores de la tabla, tenemos: X Y421,610,80,5 RAMV.37

Podemos concluir que: La gráfica de una Proporción inversa, es una Curva llamada Hipérbola, con los ejes como Asíntotas. RAMV.38

Como Resolver un problema relativo a Proporciones Para resolver un problema relativo a proporciones siga los siguientes pasos: 1) Lea comprensivamente el problema e identifique los datos relevantes. 2) Anote los datos en columnas, de modo que cada columna posea sólo datos del mismo tipo. 3) Represente con una x, el dato desconocido. 4) Determine si las variables están relacionadas mediante proporción directa, o inversa. RAMV.39

Como Resolver un problema relativo a Proporciones 5a) Si los datos están relacionados directamente, plantee una proporción con ellos tal como se encuentran en las columnas. 5b) Si los datos están relacionados inversamente, primero invierta una de las columnas y luego plantee la proporción. 6) Encuentre el término desconocido de la proporción. 7) Dé la respuesta en forma escrita RAMV.40

Ejemplo 1 Doña Juanita, el Sábado se levantó temprano y a las 9 de la mañana estaba camino a la feria con su amiga Marta, doña Juanita, entre otras cosas compró tres kilos y medio de limones y gastó en esta compra $980. ¿Cuánto pagó la señora Marta si compró tres kilos de los mismos limones?. RAMV.41

Doña Juanita, el Sábado se levantó temprano y a las 9 de la mañana estaba camino a la feria con su amiga Marta, doña Juanita, entre otras cosas compró tres kilos y medio de limones y gastó en esta compra $980. ¿Cuánto pagó la señora Marta si compró tres kilos de los mismos limones?. Las variables involucradas en el problema son Kilos de limones y Dinero gastado en los limones. Con lo anterior tenemos que completar nuestra tabla de valores. Podemos deducir que si compro menos limones. Gasto menos dinero. Por lo tanto es una proporción Directa. KILOSDinero 3,5$980 3x RAMV.42

Doña Juanita, el Sábado se levantó temprano y a las 9 de la mañana estaba camino a la feria con su amiga Marta, doña Juanita, entre otras cosas compró tres kilos y medio de limones y gastó en esta compra $980. ¿Cuánto pagó la señora Marta si compró tres kilos de los mismos limones?. Por lo tanto, con los datos tal como están en la tabla, formamos la proporción. El valor de x, se obtiene al resolver: Es decir, el valor de x es: La señora Marta pagó $840 por los 3 Kilos de limones. KILOSDinero 3,5$980 3x RAMV.43

Ejemplo 2 Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera: RAMV.44

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera: Las variables involucradas en el problema son número de personas que pintan el dormitorio y tiempo que demoran en pintarlo. Con lo anterior tenemos que completar nuestra tabla de valores. Podemos deducir que si hay más personas ayudando a realizar el trabajo. Demoramos menos tiempo en realizarlo. Por lo tanto es una proporción Inversa. N° Personas Tiempo 26 3x RAMV.45

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera: Por lo tanto, invertimos una de las columnas de la tabla, y formamos la proporción. El valor de x, se obtiene al resolver: Es decir, el valor de x es: Si les hubiera ayudado su amigo Esteban habrían demorado 4 horas en pintar el dormitorio. N° Personas Tiempo (hrs.) 26 3x RAMV.46

PORCENTAJES Un porcentaje es una razón de consecuente 1oo. Esto quiere decir que un porcentaje es una comparación que se establece en relación a cada 100 unidades. El símbolo utilizado para porcentaje es %. RAMV.47

PORCENTAJES Según lo anterior podemos afirmar que: 5 % = Significa 5 de cada % = Significa 12 de cada 100 RAMV.48

Porcentajes Un porcentaje lo podemos expresar de distintas formas: Como una razón Como una fracción irreductible Como un decimal RAMV.49

Porcentajes Existen algunos porcentajes que se pueden calcular rápidamente, en forma mental El 50% Para calcular el 50% de un número basta con calcular la mitad del número El 50% de 34 es El 50% de 18 es El 50% de 72 es El 50% de 5 es RAMV.50

Porcentajes Existen algunos porcentajes que se pueden calcular rápidamente, en forma mental El 25% Para calcular el 25% de un número debemos calcular la mitad, de la mitad del número El 25% de 60 es El 25% de 18 es El 25% de 2 es El 25% de 84 es RAMV.51

Porcentajes Existen algunos porcentajes que se pueden calcular rápidamente, en forma mental El 75% Para calcular el 75% de un número debemos calcular primero el 25% y luego el resultado multiplicarlo por 3 El 75% de 40 es El 75% de 8 es El 75% de 120 es El 75% de 6 es RAMV.52

EN General Si quiero calcular el t% de n, procedo: RAMV.53

Como resolver un problema que involucre porcentajes Todo problema relativo a porcentajes, se le debe dar un tratamiento de proporcionalidad directa, por lo tanto se debe proceder como explicamos anteriormente, pero además debemos tener presente la siguiente consideración: Al anotar los datos en columnas, al total de los casos, debemos hacerle coincidir el 100% RAMV.54

Ejemplo 1 En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca. Si los alumnos becados son 43. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio? RAMV.55

En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca. Si los alumnos becados son 43. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio? Anotamos los datos en columnas, de modo de asignar al total, el 100% En este caso, no conocemos el total de alumnos, (x), por lo cual a la x, le asignamos el 100% Al plantear la proporción y resolverla tenemos: Por lo tanto el colegio tiene 860 alumnos Alumnos% 435 x100 RAMV.56

Ejemplo 2 En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica? RAMV.57

En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica? Como se observa al leer comprensivamente el problema, el total de los casos corresponden a los 120 operarios, por lo cual a dicha cantidad, debemos asociarle el 100%. De esta manera, tenemos la siguiente tabla. Con dichos datos planteamos y resolvemos la proporción: RAMV.58 Operarios% x

En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica? Por lo tanto, los 18 operarios, representan el 15% de los 120 trabajadores. RAMV.59 Operarios% x