Factorización Scherzer APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización Scherzer Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático Raúl Alberto Scherzer Garza Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México 33 36 14 68 15

La factorización o escríbelo como una multiplicación SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO La factorización o escríbelo como una multiplicación Factor común, factorización por agrupación y por fórmula.

Las ocho factorizaciones básicas. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Las ocho factorizaciones básicas. Se inventaron como un procedimiento para convertir las sumas y restas de polinomios en productos o multiplicaciones.

Las ocho factorizaciones. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Las ocho factorizaciones. Factor común. Por agrupación. Diferencia de cuadrados x2 − y2 = (x + y)(x − y) Diferencia de cubos x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) Por fórmula Suma de cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la forma x2 + bx + c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c.

SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factor común

Factorización por término o factor común. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por término o factor común. Las reglas para encontrar el factor común son: Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en todos los términos pero que sea la de menor exponente. Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que divida a todos los coeficientes o números del polinomio. Con los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos el que llamaremos el término o factor común, luego dividiremos al polinomio entre el factor común y el resultado de la división será el otro factor.

Factorización por término o factor común. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por término o factor común. a2 + ab = b + b2 = x2 + x = 3a3 − a2 = x3 − 4x4 = 5m2 + 15m3 = ab − bc = x2y + x2z = 2a2x + 6ax2 = 9a3x2 − 18ax3 = a (a + b) b (1 + b) x (x + 1) a2 (3a − 1) x3 (1 − 4x) 5m2 (1 + 3m) b (a − c) x2 (y + z) 2ax (a + 3x) 9ax2 (a2 − 2x)

Ejemplos donde el factor común es un polinomio. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Ejemplos donde el factor común es un polinomio. a(x+1) + b(x+1) = (x+1) (a+b) x(a+1) − 3(a+1) = (a+1) (x−3) 2(x−1) + y(x−1) = (x−1) (2+y) m(a−b) + (a−b)n = (a−b) (m+n) 2x(n−1) − 3y(n−1) = (n−1) (2x−3y) a(n+2) + n+2 = a(n+2) + 1(n+2) = (n+2) (a+1) a2+1 − b(a2+1) = 1(a2+1) − b(a2+1) = (a2+1) (1−b)

Factorización por agrupación SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por agrupación

Factorización por agrupación. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por agrupación. Factorizar a2 + ab + ax + bx a(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x) Factorizar am − bm + an − bn m(a − b) + n(a − b) = (a − b)(m + n) Factorizar ax − 2bx − 2ay + 4by x(a − 2b) − 2y(a − 2b) = (a − 2b)(x − 2y)

Factorización por fórmula diferencia de cuadrados. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por fórmula diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Diferencia de cuadrados. Factorizar. x2 − y2 = (x + y)(x − y) 36x4 − 49x10 = (6x2 + 7x5)(6x2 − 7x5) 16a2 − 25b6 = (4a + 5b3)(4a − 5b3) 1 − 4m2 = (1 + 2m)(1 − 2m) a2b8 − c2 = (ab4 + c)(ab4 − c) 4a2 − 9 = (2a + 3)(2a − 3) 100 − x2y6 = (10 + xy3)(10 − xy3) 25x2y4 − 121 = (5xy2 + 11)(5xy2 − 11)

Factorización por fórmula diferencia de cubos. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por fórmula diferencia de cubos.

Diferencia de cubos. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorizar. x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4) 27a3 − b6 = (3a − b2)(9a2 + 3ab2 + b4) 64a3 − 729 = (4a − 9)(16a2 + 36a + 81) x3y6 − 216y9 = (xy2 − 6y3)(x2y4 + 6xy5 + 36y6) a3b3x3 − 1 = (abx − 1)(a2b2x2 + abx + 1) 8a3 − 27b6 = (2a − 3b2)(4a2 + 6ab2 + 9b4)

Factorización por fórmula suma de cubos. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por fórmula suma de cubos.

Suma de cubos. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorizar. x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) a3 + 8 = (a + 2)(a2 − 2a + 4) 27a3 + b6 = (3a + b2)(9a2 − 3ab2 + b4) 64a3 + 729 = (4a + 9)(16a2 − 36a + 81) x3y6 + 216y9 = (xy2 + 6y3)(x2y4 − 6xy5 + 36y6) a3b3x3 + 1 = (abx + 1)(a2b2x2 − abx + 1) 8a3 + 27b6 = (2a + 3b2)(4a2 − 6ab2 + 9b4)

Trinomio Cuadrado Perfecto SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio Cuadrado Perfecto Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2 Estando ordenado se toma la raíz del primero el signo del segundo y la raíz del tercero. Factorizar 9b2 − 30a2b + 25a4 = (3b − 5a2)2 49a2 − 14a + 1 = (7a − 1)2 36 + 12m2 + m4 = (6 + m2)2 y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2+ 1 = (y2 + 1)2

Factorización por fórmula trinomio de la forma x2+bx+c. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por fórmula trinomio de la forma x2+bx+c.

Trinomio de la forma x2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma x2+bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Se ordena en forma descendente se saca raíz al primer término y se coloca la misma como el primer término en un par de paréntesis, luego se buscan dos números que sumados o restados den el coeficiente del segundo término, pero que multiplicados los mismos números den el coeficiente del tercer término con todo y signo. Esos números son respectivamente los segundos términos del par de paréntesis.

Trinomio de la forma x2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma x2+bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Factorizar x2 + 7x + 10 = Se observa que: 2 + 5 = 7 y 2 x 5 = 10 (x + 2)(x + 5) Factorizar x2 + 5x + 6 = Se observa que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6 (x + 2)(x + 3) Factorizar x2 − 7x + 12 = Se observa que: −3 −4 = −7 y (−3)x(−4) = 12 (x − 3)(x − 4)

Trinomio de la forma x2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma x2+bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c. Se observa que: −3 + 5 = 2 y (−3)x(5) = −15 Factorizar x2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5) Factorizar x2 − 5x − 14 = Se observa que: −7 + 2 = −5 y (−7)x(2) = −14 (x − 7)(x + 2) Factorizar a2 − 13a + 40 = Se observa que: −5 −8 = −13 y (−5)x(−8) = 40 (a − 5)(a − 8)

Factorización por fórmula trinomio de la forma ax2+bx+c. SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Factorización por fórmula trinomio de la forma ax2+bx+c.

Trinomio de la forma ax2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma ax2+bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c. Método de las tijeras. Ordenado el polinomio se descompone el primer y tercer términos, en cuatro términos que se colocan en las esquinas de un rectángulo, los primeros del lado izquierdo y los segundos del lado derecho. Luego se obtienen dos términos de multiplicar las diagonales y con ellos se efectúa la suma algebraica, si se obtiene el segundo término del trinomio, la factorización se hace sumando los dos términos superiores del rectángulo por la suma de los dos inferiores.

Trinomio de la forma ax2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma ax2+bx+c Factorizar 6x2 − 7x − 3 = (2x − 3)(3x + 1) 2x − 3 − 9x 3x 1 2x Segundo término − 7x

Trinomio de la forma ax2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma ax2+bx+c Factorizar 20x2 + 7x − 6 = (4x + 3)(5x − 2) 4x 3 15x 5x − 2 − 8x Segundo término 7x

Trinomio de la forma ax2+bx+c SCHERZER APRENDIZAJE DE ALTO RENDIMIENTO Trinomio de la forma ax2+bx+c Factorizar 18a2 − 13a − 5 = (a − 1)(18a + 5) a − 1 − 18a 18a 5 5a Segundo término − 13a

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