ÁLGEBRA MATRICIAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Diagonalización por semejanza Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Índice 1. Definición de matriz 2. Menores 3. Tipos de matrices 4. Suma, productos y potencia 5. Propiedades de las operaciones 6. Otros tipos de matrices 7. Determinantes 8. Matrices por bloques (particionadas) Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 1. Definición de matriz 2ª columna 3ª fila dimensión de A (Amxn) diagonal principal matriz fila matriz columna Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 2. Menores Menor asociado a : quitamos la fila 2 y la columna 1 Menores principales Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 3. Tipos de matrices Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz nula Matriz diagonal Matriz identidad Matriz escalar Matriz escalonada Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 4. Suma y productos Suma (misma dimensión) Producto de matrices Producto por un escalar Si A·B=B·A, A y B son permutables o conmutables Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 4. Suma y productos Propiedades de la suma de matrices 1- Ley interna: 2- Asociativa: 3- Elemento neutro: 4- Elemento opuesto: 5- Conmutativa: Propiedades del producto de una matriz por un escalar 1- 2- 3- 4- (1 es el elemento neutro de K) Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 4. Suma y productos Propiedades del producto de matrices 1- Distributiva respecto de la suma por la izquierda: 2- Distributiva respecto de la suma por la derecha: 3- Asociativa: 4- 5- Producto nulo: Aunque puede que Si no implica que Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 5. Potencias de matrices Potencia (de matrices cuadradas) Potencia (de matrices diagonales) Propiedades de las potencias de matrices cuadradas 1- 2- 3- Matrices

6. Otros tipos de matrices Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 6. Otros tipos de matrices Matriz simétrica Matriz antisimétrica Matriz regular Matriz transpuesta Matriz ortogonal Matrices

6. Otros tipos de matrices Diagonalización por semejanza Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 6. Otros tipos de matrices Matriz transpuesta Otros tipos de matrices cuadradas: Matriz simétrica Matriz antisimétrica Matriz regular Matriz ortogonal Matrices

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 7. Determinantes Propiedades 1- El valor de un Δ no se altera cuando se cambian las filas por las columnas. 2- Si se cambian entre sí 2 filas (o 2 columnas), el valor del Δ cambia de signo. 3- Si un Δ tiene 2 filas (o 2 columnas) iguales, Δ=0. 4- Multiplicando a todos los elementos de una fila (o columna) por α, el Δ queda multiplicado por α. 5- Si en un Δ los elementos de una fila (o columna) son múltiplos de los elementos de otra fila (o columna), Δ=0. 6- El Δ de la suma de las matrices cuyas filas (o columnas) son todas iguales salvo una es igual a la suma de los Δ de esas matrices. 7- Un Δ en el que una fila (o columna) es combinación lineal de otra es nulo (Δ=0). 8- Si una fila (o columna) tiene todos sus elementos nulos, Δ=0. 9- Si a una fila (o a una columna) se le suma otra multiplicada por un escalar, el Δ no varía. 10- Matrices

8. Matrices por bloques (particionadas) Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 8. Matrices por bloques (particionadas) Formadas por submatrices (bloques) Matrices

8. Matrices por bloques (particionadas) Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 8. Matrices por bloques (particionadas) Suma de matrices por bloques A y B de la misma dimensión y particionadas de igual forma Matrices

8. Matrices por bloques (particionadas) Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 8. Matrices por bloques (particionadas) Producto Por un escalar: Matrices

8. Matrices por bloques (particionadas) Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 8. Matrices por bloques (particionadas) Producto Producto de matrices: Matrices

8. Matrices por bloques (particionadas) Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU 8. Matrices por bloques (particionadas) Cálculo de la inversa Particionar con ventaja: Si los bloques diagonales se hacen cuadrados, la partición de es igual a la de . Si se buscan bloques nulos o unidad, los cálculos se simplifican. Matrices