Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace. AUTORES:

Planteamiento del Problema Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales.

Objetivos de la Investigación Objetivo General Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en circuitos eléctricos Objetivos Específicos Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método.

Objetivos de la Investigación Objetivos Específicos Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, fuentes y condensadores. Aplicar el método a un circuito eléctrico típico

Justificación Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales. En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del problema. Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricos

Alcances y Limitaciones Abarca aplicaciones básicas de la transformada de Laplace. Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. Se hallarán las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. Los resultados no serán contrastados experimentalmente

Bases Teóricas Propiedades de la Transformada de Laplace Definición de Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace La transformada de Laplace es lineal

Bases Teóricas Transformada de una derivada Transformada de una integral Definición de términos básicos Condensador y Capacitancia Resistencia Inductor e Inductancia Fuente

Marco Metodológico Definir el caso de estudio. Identificar cada uno de los elementos del circuito eléctrico a resolver. Plantear el diagrama del circuito eléctrico a resolver. Establecer las ecuaciones diferenciales que permitan resolver el circuito eléctrico. Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia.

Marco Metodológico Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace. Definir la señal de entrada o perturbación. En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial planteada. Graficar y analizar los resultados.

Caso I: CIRCUITO RCL Definición del caso Elementos del circuito Diagrama del circuito

Caso I: CIRCUITO RCL Se aplica una la Ley de Kirchoff Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito

Caso I: CIRCUITO RCL Transformación al dominio de la frecuencia Corriente en el dominio de la frecuencia

Caso I: CIRCUITO RCL Solución de la ecuación diferencial Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa Aplicando la transformada inversa de Laplace

Caso I: CIRCUITO RCL Gráfica del resultado

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Definición del Caso Elementos del circuito Diagrama del Circuito

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Relación torque – Corriente eléctrica Relación torque – Velocidad Angular Ecuación de Voltaje

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Ecuación diferencial del sistema físico Transformación al dominio de la frecuencia Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Ecuación en el dominio de la frecuencia Solución de la ecuación diferencial La solución se obtiene realizando una expansión en fracciones parciales.

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Expansión en fracciones parciales Los valores de A, B, C son: Con

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Aplicando la transformada inversa

Caso II: Motor eléctrico de corriente directa Grafica Velocidad Angular - Tiempo

Conclusiones Se logró conocer la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos. Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace. La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.

Conclusiones La técnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico. Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada. Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a un valor dado por: