XVII SEMANA REGIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DOCENCIA EN MATEMÁTICAS Diseño de herramientas interactivas en línea como apoyo a los cursos de cálculo Eduardo Tellechea Armenta Universidad de Sonora etellech@gauss.mat.uson.mx

Resumen En este trabajo se pretende motivar el uso de los recursos del Internet para su aplicación en el aula, en particular en los cursos de Cálculo que se imparten en las carreras de Ciencias e Ingeniería. Con el objetivo de desarrollar en los estudiantes habilidades de exploración, descubrimiento y conjetura, se diseñan Applets de Java para el estudio de los temas de Graficación de Funciones y Derivación que, mediante la visualización dinámica, ayudarán al estudiante en la articulación de las representaciones Gráfica, Numérica y Simbólica de funciones y derivadas. El software utilizado es el Applet “Descartes”, propiedad del Ministerio de Educación y Cultura de España, el cual es configurable y puede insertarse en páginas Web, permitiendo la interactividad a través del Internet.

Objetivo General Potenciar el uso del Internet, en particular el uso del Applet DESCARTES en la enseñanza del Cálculo, diseñando ambientes computacionales que permitan ir más allá de la graficación tradicional y pasar al campo de la visualización dinámica, donde las representaciones gráficas adquieran nuevos significados. Objetivo particular Presentar un acercamiento gráfico al estudio de los temas de graficación de funciones y derivadas, utilizando un graficador de funciones y un trazador de la función derivada. Este último permite explorar la relación existente entre la recta tangente a la función en un punto dado y la gráfica de la derivada de esta misma función. El trazo de la función derivada y la interacción que se establece entre el estudiante y el software, es aprovechado para extraer, de la representación dinámica, expresiones analíticas de las derivadas de algunas funciones lineales, cuadráticas, cúbicas y trigonométricas.

Principios generales 1.  Un ambiente computacional diseñado para la enseñanza, debe permitir al estudiante interactuar con las representaciones proporcionadas por la computadora, al nivel de poder modificarlas, como una manera de detectar patrones de comportamiento y formular conjeturas sobre los objetos representados y sus características. 2.  Una primera aproximación gráfica a los conceptos matemáticos, puede ser útil para crear una base de significación más concreta, antes de examinar estos conceptos a un nivel más abstracto; la manipulación de las representaciones dinámicas, por parte del estudiante, puede ayudar a construir esta base de significación.

En esta primera sección se presenta al estudiante un applet como el Graficación de Funciones En esta primera sección se presenta al estudiante un applet como el de la figura, que permite visualizar hasta cinco funciones a la vez. Basta teclear en cada casilla, la ecuación de la forma y = f(x) y oprimir “Enter” para obtener su gráfica. El applet dispone de cuatro parámetros a, b, c y d, modificables en pantalla, para graficar familias de funciones, como por ejemplo las de la forma

Graficando funciones de la forma: Con el fin de conocer el efecto que ocasiona la modificación de los parámetros de la función sobre su gráfica, se interactúa con el Graficador, f(x) = 3(x+1)2 - 2 Con esta interacción, el alumno descubrirá que la gráfica es una parábola, que se abre hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0), dependiendo del signo de a, y que tiene el vértice en el punto (b, c). Además, podrá observarse que, si |a|<1, la parábola es más abierta que y = x2 y, si |a|>1, es más cerrada. Una vez explorado lo anterior, se aborda el proceso inverso: dada la gráfica de una parábola que pasa por un punto dado y con vértice conocido, el alumno determinará su expresión analítica.

Graficando funciones de la forma: Análogamente podemos conocer el efecto de los parámetros de la función sobre su gráfica, de nuevo interactuando con el Graficador, El alumno, mediante la exploración guiada, descubrirá que a es la amplitud de la onda, b modifica el período a 2π/b, c la desplaza horizontalmente y d lo hace de manera vertical. Una vez que el alumno descubre esta relación entre la gráfica y los parámetros, es capaz de encontrar la expresión analítica de una onda dados su amplitud y período. f(x) = sin(2πx/5)

2. Derivación de Funciones Como apoyo al aprendizaje del concepto de derivada, se presenta el applet un “Trazador de Derivadas”, que ayudará al estudiante en la comprensión de dicho concepto, ya que permite la articulación de las representaciones gráfica, numérica y simbólica.

Obteniendo la función derivada a partir de los valores numéricos Para obtener la función derivada de f(x) = 3x2 – 2x +1, interactuamos con el Trazador de Derivadas, para encontrar las derivadas en algunos de los puntos del dominio, construyendo una tabla como la siguiente: x f ’(x) -1 -8 -2 1 4 2 10 3 16 Una vez construida esta tabla, el alumno observará que las diferencias consecutivas en la segunda columna, son constantes, lo cual significa que se trata de una recta, cuya ecuación es y = 6x – 2, es decir, obtenemos la expresión analítica a partir de la representación numérica.

Obteniendo la función derivada a partir de los valores numéricos De la misma forma podemos obtener la derivada de f(x) = lnx, interactuando con el Trazador de Derivadas, para encontrar las derivadas en algunos de los puntos del dominio, construyendo una tabla como la siguiente: x f ’(x) 1/4 4 1/3 3 1/2 2 1 De la tabla observamos que la pendiente de la recta tangente en cada múmero positivo x, es su recíproco 1/x es decir, obtenemos la expresión analítica a partir de la representación numérica.

Obteniendo la función derivada a partir de su gráfica Para obtener la función derivada de f(x) = 3x2 – 2x +1, interactuamos con el Trazador de Derivadas, para encontrar su gráfica: La función derivada, es una recta que pasa por los puntos (0, -2) y (1, 4), siendo su ecuación: y = 6x – 2, es decir, obtenemos la expresión analítica a partir de la representación gráfica

Obteniendo la función derivada a partir de su gráfica Obtengamos la expresión analítica de funciones como : f(x) = x3 - 3x2 + 5x – 2 o bien f(x) = sen(2x) . 1 2 3

3. La derivada, utilizando propiedades geométricas de la tangente El caso de la parábola Descartes y también los antiguos griegos conocían una forma de trazar la recta tangente a una parábola, que podemos verificar analíticamente o visualmente. De acuerdo a la figura: La derivada en el punto x, es decir, la pendiente de la recta tangente es: Así pues, de estas consideraciones geométricas: x b x - b a(x – b)2

5. La derivada, utilizando propiedades geométricas de la tangente El caso de la función exponencial Si exploramos con Descartes las rectas tangentes de la función exponencial, observaremos que las subtangentes son iguales a uno. x e x 1 De acuerdo a la figura: La derivada en el punto x, es decir, la pendiente de la recta tangente es: Así pues, de estas consideraciones geométricas:

5. La derivada, utilizando propiedades geométricas de la tangente El caso de la función logaritmo La propiedad de las tangentes de esta función es consecuencia de la simetría con respecto a y = x con la función exponencial. De acuerdo a la figura: La derivada en el punto x, es decir, la pendiente de la recta tangente es: Así pues, de estas consideraciones geométricas: x

Referencias: ABREU, J.L.; OLIVERÓ, M. (2003) Applet Descartes (software), Ministerio de Educación y Cultura de España. PROYECTO DESCARTES, Página web: http://descartes.cnice.mecd.es/ TELLECHEA, A.E. (1999) Página web: http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo1 TELLECHEA, A.E. (2004), El Applet Descartes en el diseño de actividades interactivas de Matemáticas Notas de curso para profesores. Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora. TELLECHEA, A.E.; ROBLES, A,G (2004) Un Aparato Virtual para trazar la función Derivada y su utilización en  la Enseñanza del Cálculo Diferencial http://descartes.cnice.mec.es/Analisis/Funcion_derivada/index.htm