Introducción a una Teoría de Categorías Modelo ECO2 Proceso de Certificación de Especialistas Introducción a una Teoría de Categorías Santiago, Chile 22-25 de Enero de 2007 Juan Machín
Programa Presentación del objetivo Conjunto Aplicación Analogía
Objetivo de esta lección frontal Presentar una introducción a la Teoría de Categorías para hacer explícitos algunos elementos epistemológicos de nuestro trabajo (prevención, cura, formación, etc.) y comenzar a formalizar nuestra experiencia.
Teoría de Conjuntos Definición “Conjunto” es tan fundamental que es imposible dar una definición en función de conceptos más básicos. La etimología (coniungere = unir, juntar) nos da una idea de lo que significa. Tod@s poseemos una noción intuitiva y podemos dar un sinfín de ejemplos.
Conjuntos Un conjunto se define de dos formas: Enlistando todos sus elementos Definiendo una propiedad que los caracteriza Ejemplo. Sea V el conjunto de las vocales: V={a,e,i,o,u} V={x| x es una vocal} (se lee: “V es el conjunto que contiene a todas las x tales que x es una vocal”).
Ejemplos Los siguientes son ejemplos de conjuntos: - Un sistema Una red social Una Comunidad Real Local (CRL) Una Comunidad Terapéutica Específica (CTE) Nuestro equipo de trabajo Este grupo
Convenciones Vamos a representar a: los Conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C, … los Elementos con letras minúsculas: a, b, c, …
Convenciones “Pertenece a” o “es elemento de” con “No pertenece a” con “Para todo” con “Existe” con Conjunto universo con la letra U Conjunto vacío con Ø
Diagramas de Venn A Ø a b a A b A
Aplicación Dados los conjuntos A y B, una aplicación : A B es una ley, regla o criterio que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de A uno y sólo un elemento de B También se representa como: (A) = B Sinónimos de aplicación son función, mapeo, transformación, operador.
Ejemplo 1 A B a1 a2 a3 b1 b2 b3 ... bm
Ejemplo 2 A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
Ejemplo 3 A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
Ejemplo 4 A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
Ejemplos de aplicaciones - Contar - Medir Medidas estadísticas Instrumentos Diagnósticos
Aplicación inyectiva o Inyección Dados los conjuntos A y B, una aplicación inyectiva de A en B es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento diferente de B. A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 b5
Aplicación sobreyectiva o Sobreyección Dados los conjuntos A y B, una aplicación sobreyectiva de A en B es una aplicación que pone en correspondencia todos los elementos de B. A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3
Aplicación biyectiva o Biyección Dados los conjuntos A y B, una aplicación biyectiva de A en B es una aplicación que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo A B a1 a2 a3 ... an b1 b2 b3 ... bn
Ejemplos Persona Nombre Dirección Número de Teléfono Teléfono Línea telefónica Recibo CURP
Aplicación compuesta : A C Sean : A B y : B C dos aplicaciones tales que el codominio de la primera coincide con el dominio de la segunda. Queda así definida una aplicación de A en C, que se denomina aplicación compuesta de con , e indicada como : A C O como : A C
Dados los conjuntos A y B y la aplicación Aplicación inversa Dados los conjuntos A y B y la aplicación : A B, la aplicación inversa -1: B A es la aplicación que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de B uno y sólo un elemento de A, tal que si b es elemento de B que pone en correspondencia al elemento a de A, entonces -1 pone en correspondencia al elemento a de A con el elemento b de B. También se representa como: -1 (B)= A Sinónimos de aplicación inversa son antitransformación, operador inverso, etc.
Analogía Una aplicación : A B se dice que es una analogía si al aplicar a A se conservan propiedades de A en B. La analogía más estricta se denomina Identidad y es la aplicación de un conjunto sobre sí mismo. I: A A.
S es una analogía denominada semejanza Ejemplo 1 S: AB A’B’ S: BC B’C’ S: AC A’C’ Triángulos semejantes S: ’ A A’ S: b b’ S: g g’ ’ AB A’B’ ’ BC B’C’ ’ B’ C’ AC A’C’ = ’ b = b’ B C g = g’ S es una analogía denominada semejanza AB/BC = A’B’/B’C’