Ecuaciones de onda, de calor y de Laplace con dos variables independientes

Clasificación de las ecuaciones Una EDP lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficiente constantes se puede clasificar en uno de los tres tipos siguientes: Hiperbólica Parabólica Elíptica

Ésta clasificación sólo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Por supuesto, suponemos que al menos uno de los coeficientes A, B y C es distinto de cero.

Definición La EDP de segundo orden lineal donde son constantes reales, se dice que es: Hiperbólica si Parabólica si Elíptica si

Esta clasificación tiene importancia práctica Al resolver EDP sujetas sólo a condiciones de frontera y otras sujetas tanto a condiciones de frontera como a condiciones iníciales; las clases de condiciones que son apropiadas para una ecuación dada depende de si la ecuación es hiperbólica, parabólica o elíptica. Además, los métodos de solución numérica para las EDP lineales de segundo orden difieren de acuerdo con la clasificación de la ecuación.

Problema de valor inicial Es un problema que busca determinar una solución a una ED sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente tales condiciones se llaman condiciones iníciales. Problema de valor en la frontera Es un problema que busca determinar una solución a una ED sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en 2 o más valores de la variable independiente tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ecuaciones clásicas de la Física Matemática Ecuación de calor unidimensional es parabólica si t es y

Ecuación de calor Transferencia de calor por conducción en una varilla o en un alambre delgado u(x,t) representa la temperatura en un punto x a lo largo de la varilla en algún tiempo t

Ecuaciones clásicas de la Física Matemática Ecuación de onda unidimensional es hiperbólica

Ecuación de onda Los problemas en vibraciones mecánicos con frecuencia conducen a la ecuación de onda. Una solución u(x,t) representará el desplazamiento de una cuerda idealizada

Ecuaciones clásicas de la Física Matemática Ecuación de Laplace bidimensional es elíptica

Ecuación de Laplace Se puede interpretar u(x,y) como el estado estable (es decir independiente del tiempo) de la distribución de temperatura a través de una placa delgada bidimensional