Parábola

Índice La parábola. La parábola como lugar geométrico. Elementos de la parábola. Ecuación analítica de la parábola. Ejemplo. Propiedades de reflexión de la parábola.

Parábola La parábola, se forma al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz. Vértice Generatriz Plano

La parábola como Lugar Geométrico: Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado foco, y una recta dada, llamada directriz. Foco Directriz

Elementos de la Parábola En toda Parábola conviene considerar: F : Es el punto fijo llamado Foco. D : Es la recta fija llamada Directriz. e : Es la recta perpendicular a la Directriz trazada por F y es el eje de Simetría de la Parábola. V : Se llama Vértice y es el punto de intersección de la Parábola con el Eje de Simetría. e F V D

Elementos de la Parábola p : Se conoce como Parámetro y es la distancia que existe entre el Foco y la Directriz. Su valor se representa por p ( FQ = p) Se cumple que el vértice por equidistar del foco y la directriz, es el punto medio del segmento FQ. Es por ello que VQ = VF =p/2 P : Es un punto determinado de la Parábola. p F V P ( x, y ) Q D

Elementos de la Parábola Radio Vector: Para un punto cualquiera de la Parábola, P, se denomina vector PF que va desde el punto al Foco. Según la definición de la Parábola el radio vector, PF, es igual a la distancia, PB, del punto a la Directriz. p F V P ( x, y ) Q B D

Ecuación analítica de la parábola La Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto: F ( a , 0 ) es y2 = 4ax. Demostración La Directriz es una recta vertical D de ecuación x = - a. Dado el punto: P ( x, y ) de la parábola, distinta lo mismo del foco que de la Directriz, y se tiene que: La expresión anterior se obtiene mediante la formula de distancia entre dos puntos:

Después en esta ecuación se elevan al cuadrado los binomios y se agrupan términos Como a > 0, puede tomar cualquier valor positivo. El eje de simetría de la parábola es el eje x positivo. La parábola es simétrica con respecto a su eje, pues y =± 2

Para finalizar… La cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parábola se le da el nombre de Lado Recto. Se determina mediante las coordenadas de sus extremos. Sustituyendo a con x en la ecuación y2 = 4ax, se encuentra: y2 = 4a2 y y = ±2a Los extremos son (a, -2a) y (a, 2a) Y la longitud del Lado Recto es 4a Lado Recto

Generalizando… Las Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, 0) es y2=4ax La parábola se abre hacia la derecha si a>0 y se abre hacia la izquierda si a<0. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (0, a) es x2=4ay La parábola se abre hacia la arriba si a>0 y se abre hacia la abajo si a<0.

Ecuación analítica de la parábola con vértice en (h, k) Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (h, k) entonces la ecuación sería: 1.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en (h + a, k) es: (y – k)2 = 4a(x – h) 2.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en h +a, k) es: (x – h)2 = 4a(y – k) Desarrollando la ecuación tendremos:    y2 + k2 – 2yk + 4ax – 4ah = 0 ó x2 + h2 – 2xh + 4ay – 4ak = 0 Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a ecuaciones más simples hacemos y2 + Dx + Ey + F = 0 ó x2 + Dx + Ey + F = 0 Siempre que E = 0 y D = 0

Ejemplo Escríbase la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, 4). Ecuación: x2=4ay La distancia del vértice al foco es 4 y, por tanto, a = 4. sustituyendo este valor con a se obtiene: x2=16y Haz click para observar la gráfica

Distancia entre dos puntos Regresar Distancia entre dos puntos P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2)    Como hablamos de dos distancias d1= d2 d1 que va de F (a,0) al punto P (x, y). d2 (-a, y) al punto P (x, y). Sustituimos los valores en la formula de distancia: Listo esta es la expresión

Propiedad de reflexión de la parábola: Por ejemplo; Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

Propiedad de reflexión de la parábola Esto se basa en el hecho de que, en los espejos planos, cóncavos y convexos, los rayos iguales se reflejan en ángulos iguales.