KRIGING CON TENDENCIA

Un especto fundamental en la teoría de kriging estudiada es la estacionaridad débil o de orden 2. A continuación estudiaremos algunas técnicas propuestas para obtener estimaciones cuando no se cumple la estacionaridad. Es decir, cuando Entre estas están: Kriging Universal Kriging con deriva externa (external drift)

UK KRIGING UNIVERSAL El kriging universal asume que la función aleatoria Z se puede descomponer en la forma: Donde R es una función aleatoria estacionaria de orden 2 con E(R(u))=0 y m es una función no aleatoria dependiente de la localización u.Bajo estas hipótesis se tiene que:

UK m Z + = R

Si se asume la descomposición anterior se presentan 2 casos: UK Si se asume la descomposición anterior se presentan 2 casos: 1°) La función de tendencia m es conocida en cada punto u del mallado o espacio donde se quiere estimar la propiedad. 2°) La función de tendencia m no es conocida y hay que proceder a estimarla a partir de los datos. Es importante observar que en cualesquiera de los casos se asume que es una función aleatoria estacionaria de orden 2 con media cero y por lo tanto se pueden utilizar las técnicas de kriging estudiadas anteriormente. Los valores R(u) se denominan los valores residuales.

Como la función de tendencia es conocida entonces se puede calcular UK Caso 1 Como la función de tendencia es conocida entonces se puede calcular Luego, se pueden estimar los residuales utilizando kriging simple y obtener como estimación de la propiedad Es importante observar que la estimación se realiza utilizando los residuales y no los valores originales de la propiedad. Así por ejemplo, el cálculo del variograma se debe hacer utilizando los residuales.

Pasos para la estimación UK Caso 1 Pasos para la estimación Conocer la función de tendencia en cada uno de los puntos del mallado o espacio donde se quiere estimar Calcular en cada punto donde se tiene informacion el valor de los residuales Validar la hipótesis de estacionaridad de la función residual. Si esta se cumple, realizar la estimación de la función residual mediante kriging simple. Obtener la estimación de la propiedad como:

UK Presencia de una tendencia Identificación de la función de tendencia Obtención de los residuales Obtención de la estimación

UK Caso 2 Cuando la función de tendencia es desconocida, es usual asumir que esta se puede escribir como: Donde las funciones f son conocidas, llamadas funciones de base, y los parámetros a son desconocidos, lo cual hace que la función de tendencia sea desconocida. Las funciones de base deben ser escogidas según la naturaleza del problema y no arbitrariamente. La idea ahora es proceder como en el kriging ordinario. Es decir, imponer condiciones para filtrar el valor desconocido de la media.

El estimador que se propone es UK El estimador que se propone es y por lo tanto De esta forma, si se impone la condición Se obtiene que el estimador es insesgado

En cuanto a la varianza del error hay que observar primero que UK En cuanto a la varianza del error hay que observar primero que Con lo cual, Y por lo tanto

Y la función a minimizar es: UK Para incluir las restricciones se consideran L+1 parámetros de Lagrange Y la función a minimizar es: Para ello se deriva la función respecto a cada uno de los parámetros y se igualan a cero cada una de estas derivadas Sistema de ecuaciones de N+L+1 incógnitas con N+L+1 ecuaciones

UK La unicidad de la solución depende de la matriz F, la cual depende de la configuración de los puntos de observación.

UK Cómo se obtienen los residuales para el cálculo de la covarianza si se desconoce la media ? En general, la respuesta no es sencilla. Debido a este tipo de inconveniente, producto de la descomposición asumida, Matheron desarrolló la teoría de funciones aleatorias intrínsecas de orden k y covarianzas generalizadas. Según las condiciones del problema pudieran existir regiones en las cuales la tendencia no influye. En este caso, se puede utilizar directamente la información de la variable Z para inferir la función de covarianza de los residuales.

KRIGING CON DERIVA EXTERNA ED KRIGING CON DERIVA EXTERNA Puede ocurrir que dos variables medidas en diferentes maneras aportan información sobre el mismo fenómeno. Por ejemplo, el tope medido en los pozos y el tiempo de tránsito en la sísmica. Cuando una de las variables es precisa pero poco muestreada (tope medido en los pozos) y la otra es más imprecisa pero densamente muestreada (sísmica) es de interés poder utilizar ambas fuentes de información para el estudio del fenómeno en cuestión. Como en ambas se encuentra información del fenómeno en estudio es razonable asumir que: Precisa y poco muestreada Imprecisa y densamente muestreada

ED Información directa: Información de pozos. Alta resolución vertical Baja resolución areal Información indirecta: Información sísmica Baja resolución vertical Alta resolución areal

El estimador que se propone es ED El estimador que se propone es Lo importante a observar ahora es que el estimador de kriging con deriva externa no asume a priori la descomposición en un término de tendencia más uno aleatorio y estacionario. Para hallar los valores óptimos de los pesos basta observar que la condición es un caso particular del sistema de ecuaciones del kriging universal al considerar tan solo dos términos en la expresión de la función de tendencia

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es ED Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es Sistema de ecuaciones de N+2 incógnitas con N+2 ecuaciones

Es importante considerar que: ED Es importante considerar que: 1) Si la función S no varía suave el sistema de ecuaciones puede ser inestable. 2) Las estimaciones realizadas utilizando kriging con deriva externa producen resultados que reflejan la tendencia dada por la función S. Esto es producto de la decisión de asumir que E(Z(u))=a+bS(u) y no demuestra que los datos siguen la tendencia obtenida. 3) Es necesario conocer el valor de S en todos los puntos donde se tiene información y en todos los puntos donde se requiere realizar la estimación. 4) Como generalmente el método se aplica utilizando una vecindad móvil, una notación mas adecuada de la relación entre la variable primaria y la variable secundaria sería:

ED Esto permite estimar el parámetro b en cada punto u y medir la influencia de la variable de tendencia en dicho punto. Esto se logra resolviendo básicamente el mismo sistema de ecuaciones: Se requiere entonces invertir la matriz sólo una vez para obtener la estimación de la propiedad y del parámetro b.

En el caso general, es decir, cuando se asume que ED En el caso general, es decir, cuando se asume que Se procede como antes pero incorporando k+1 parámetros de Lagrange al sistema de ecuaciones. De esta forma, el sistema de ecuaciones sería Y la forma matricial es idéntica a la obtenida para el kriging universal considerando las funciones S en lugar de las f

(Función Delta de Kronecker) ED La estimación de cada uno de los parámetros b en el punto u se obtiene también como antes.Por ejemplo, el sistema a resolver para estimar es: Donde (Función Delta de Kronecker)