Números imaginarios y complejos

1. Números imaginarios 2. Números complejos 3. Operatoria

1. Números Imaginarios ¿Cuál será la solución de la ecuación x2 + 6 = – 10? ¿Existe un número real, que multiplicado por sí mismo de como resultado -16? ¿ es imaginario? Si no existe tal número, entonces… Analicemos: Si , entonces ¿Qué tipo de números serán ? ¿Tienen algo en común?

1. Números Imaginarios Unidad imaginaria La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i. Potencias de i: ¿Observas alguna regularidad? Cada cierto intervalo de números, se repite el resultado para la potencia de i.

1. Números Imaginarios Unidad imaginaria Todas las potencias de i cuyos exponentes son: múltiplos de 4, son iguales a 1 Ejemplo: múltiplos de 4 más 1, darán i Ejemplo: múltiplos de 4 más 2, darán -1 Ejemplo: múltiplos de 4 más 3, darán –i. Ejemplo:

1. Números Imaginarios Número imaginario Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real b (distinto de cero) por la unidad imaginaria i. Ejemplos: 3i -i -0,6i Los números imaginarios se pueden operar como términos algebraicos. Ejemplos: 3i + 12i = 15i

2. Números Complejos: C Definición Un número complejo es todo número de la forma a + bi, siendo a y b números reales, e i la unidad imaginaria ( ). a es la parte real de z Re(z) = a z = a + bi b es la parte imaginaria de z Im(z) = b Ejemplo: Si z es un número complejo tal que z = 5 + 3i, entonces 5 es la parte real de z Re(z) = 5 z = 5 + 3i 3 es la parte imaginaria de z Im(z) = 3

2. Números Complejos: C Representación Un número complejo se puede representar al menos de tres maneras: Canónica o binómica: a + bi Par ordenado : (a, b) Gráficamente: Como vector Ejemplo: Si z es un número complejo, tal que su parte real es 2 y su parte imaginaria es 5, entonces se puede representar como: binomio par ordenado z = 2 + 5i z = (2,5) Re(z) Im(z) Re(z) Im(z)

2. Números Complejos: C Representación Dado que los números complejos se componen de una parte real y otra imaginaria, es posible representarlos en un “plano complejo”, donde el eje x representa al eje real (Re) y el eje y al eje imaginario (Im). Ejemplo: Si z es un número complejo, tal que su parte real es 3 y su parte imaginaria 4, entonces se puede representar de la siguiente manera: 1 2 3 4 5 6 Im Re z = 3 + 4i (3,4) z = (3,4)

2. Números Complejos: C Módulo o valor absoluto de un número complejo |z| El módulo de un complejo z = (a,b), es la longitud del vector que representa, es decir, la distancia entre el (0,0) y (a,b). Ejemplo: El módulo de z = (5, 2) es: Im 1 2 3 4 5 6 Re (5,2)

2. Números Complejos: C Conjugado de un número complejo z El conjugado de un complejo z se denota por , y es el simétrico de z respecto al eje real. Algebraicamente, el conjugado de z solo difiere de este en el signo de su parte imaginaria, es decir, si z = a + bi entonces Ejemplo: Im Re 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 (4,5) El conjugado de z = 4 + 5i es: (4,-5)

2. Números Complejos: C Inverso aditivo de un número complejo El inverso aditivo del complejo z = a + bi es -z = -a – bi ya que El neutro aditivo es (0,0) z + (-z)= a + bi + -a – bi = 0 + 0i Ejemplo: El inverso aditivo de z = -2 + 4i es –z = 2 – 4i -1 -2 -3 -4 Re Im 1 2 3 4 5 (-2,4) (2,-4) Geométricamente, el inverso aditivo de z es el simétrico de z respecto al origen.

Neutro multiplicativo 2. Números Complejos: C Inverso multiplicativo de un número complejo El inverso multiplicativo un número complejo z es igual al cociente entre su conjugado y el cuadrado de su módulo. Neutro multiplicativo Es decir: Ejemplo: El inverso multiplicativo de z = 1 + 2i es: Producto de binomios

3. Operatoria en C Igualdad entre complejos Sean y dos números complejos entonces: Ejemplo: Sean z1 = -4 + 3i y z2 = 2x + 9yi, dos números complejos tal que z1 = z2 , ¿cuál es el valor de x e y?

3. Operatoria en C Suma y resta entre complejos Sean y dos números complejos, entonces: Ejemplo: Sean z1 = -4 + 3i y z2 = 12 + 7i, dos números complejos, entonces:

3. Operatoria en C Ponderación por un escalar Sea = (a, b) un número complejo y entonces: ó Ejemplo 1: Sean z = -3 + 2i entonces -5z es: -5(-3, 2) = (15, -10) Ejemplo 2: Sean z1 = 1 + 4i y z2 = 8 + 6i, entonces (2z1 - z2) = 2(1,4) – (8,6) = (2,8) – (8,6) = (-6,2)

3. Operatoria en C Multiplicación entre complejos Sean = (a, b) y = (c, d) dos números complejos, entonces: Al multiplicar los binomios resulta: Ejemplo: Si z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i, entonces -5 + 14i

3. Operatoria en C División entre complejos Sean = (a, b) y = (c, d) dos números complejos, entonces la división entre z1 y z2 es igual al producto entre z1 y el inverso multiplicativo de z2 . Es decir: equivalente a Ejemplo: Si z1 = 1 + 4i y z2 = 3 + 2i, entonces es

3. Operatoria en C Aplicaciones Si z = -1 + 3i, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El inverso aditivo de z es -1 – 3i. 5z = -5 +15i A) Solo I B) Solo II Solo I y II Solo II y III E) I, II y III

D 3. Operatoria en C Resolución: I) Falsa. El inverso aditivo de z es 1 – 3i. Tanto la parte real como la imaginaria cambian de signo. Verdadera, ya que 5z = 5(-1 + 3i) = -5 +15i. III) Verdadera. Como y entonces: D

3. Operatoria en C Aplicaciones 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones numéricas es imaginaria? A) B) C) D) E)

C 3. Operatoria en C Resolución: A) es un decimal periódico, un racional, por lo tanto un real. B) es un irracional, por lo tanto es real. es imaginario, ya que: D) es real, ya que: E) es real ya que: Resolución: C

3. Operatoria en C Aplicaciones 3. (1 - i)i = A) 0 B) 1 C) i D) 1 + i E) 1 - i

3. Operatoria en C Resolución: (1 - i)i = i – i2 = i – (-1) = i +1 D

3. Operatoria en C Aplicaciones 4. A) -6 B) C) 0 E) 6 Si 6i(x + iy) = 9, entonces (x + y) es igual a

B 3. Operatoria en C Resolución: Si 6i(x + iy) = 9, entonces: 6i(x + iy) = 9 + 0i 6xi + 6i2y = 9 + 0i 6xi - 6y = 9 + 0i Al ordenar los términos, resulta ser una expresión imaginaria, donde -6y sería la parte real y 6x la parte imaginaria. - 6y + 6xi = 9 + 0i (- 6y, 6x) = (9,0) Al igualar se tiene que: - 6y = 9 y que 6x = 0 B Por lo tanto x + y =

3. Operatoria en C Aplicaciones 5. A) B) C) D) 1- i E)

3. Operatoria en C Resolución: E

Síntesis de la clase Números Imaginarios Números Complejos Operatoria bi, b real ≠ 0 z = a + bi, a y b reales Módulo Potencias de i: Operatoria Conjugado Sean: y dos números complejos, entonces: Inverso aditivo -z = -a – bi Suma y resta Inverso multiplicativo Multiplicación División Igualdad entre complejos Ponderación por un escalar