Las matemáticas de las enfermedades contagiosas Michal Kowalczyk Departamento de Ingeniería Matemática, Centro de Modelamiento Matemático y Núcleo Milenio

Un poco de historia  Aristóteles (348 BC-322 BC) originó la idea que invisibles criaturas vivas pueden ser la causa de varias enfermedades  Esta teoría se desarrolló de una manera más sistemática durante siglo XVI  La existencia de microorganismos fue demostrada por Leeuwenhoek ( ) quien utilizó un microscopio

Los microbios y las enfermedades  La teoría del origen microbial de las enfermedades fue propuesta por Jacob Henle ( )  Robert Koch ( ) descubrió los gérmenes de la tuberculosis (Premio Nobel 1905)  Louis Pasteur ( ) inventó la vacuna en contra de la rabia Mycobacterium tuberculosis Rabies virus

Los agentes casuales  Enfermedades trasmitidos por virus: influenza, sarampión,hepatitis, rubeola. Otorgan a uno la inmunidad en contra de re-infección  Enfermedades trasmitidas por bacterias: tuberculosis, meningitis, gonorrea. No otorgan a uno la inmunidad en contra de re-infección  Otras enfermedades son causadas por parásitos animales, por ejemplo la malaria es trasmitida no directamente de un humano a otro sino a través de un agente (vector) Anopheles stephens

Los efectos  Cada año muchas personas mueren a causa de epidemias de sarampión, infecciones respiratorias y otras enfermedades, especialmente en los países del Tercer Mundo  Varias otras enfermedades son endémicas en muchas partes del mundo: malaria, Hanta, tifus, cólera  Las enfermedades contagiosas afectan a los animales y plantas domésticas provocando daños a agricultura

Epidemia vs. endemia  La epidemia actúa en una corta escala temporal, usualmente es un brote súbito en el que muchos (pero no todos ) miembros de la población padecen la enfermedad. Después de corto tiempo la epidemia desaparece pero frecuentemente vuelve.  Las enfermedades endémicas están presentes dentro de la población por largo tiempo sin cambio en el número de casos.

Los efectos de epidemias  Las Plagas que Moisés hizo caer sobre Egipto  Creciente inmunidad en contra de infecciones resultó en rápidos crecimientos de las poblaciones en humanos (China, Europa en el siglo XVIII)  Usualmente las epidemias resultaron en reducción de poblaciones y a veces en colapso de sociedades.

Algunas epidemias famosas  La Viruela que llevó H. Cortés de España devastó a los Aztecas ( la población de Indios en México bajó de 30 millones a 3 millones). ( la población de Indios en México bajó de 30 millones a 3 millones).  La Peste Negra (peste bubónica) se propagó desde Asia hacia Europa en 1346 y provocó la muerte de 1/3 de la población en 4 años.  En 1666 la Gran Peste de Londres mató 1/6 de la población. La Universidad de Cambridge fue cerrada por 2 años. En ese tiempo Sir Isaac Newton hizo sus más importantes descubrimientos.

 La epidemia de influenza en mató 20 millones en todo el mundo (15 millones de víctimas de la Primera Guerra Mundial)  La epidemia de SIDA fue reconocida en 1981 y desde entonces ha matado aproximadamente 25 millones (1/3 en África)

Preguntas de un experto de la salud pública  ¿Cuántas personas se enfermarán en el caso de una epidemia?  ¿Cuánto tiempo durará ?  ¿Cuál es el número máximo de personas que necesitarán asistencia médica u hospitalización ?  ¿La severidad de la epidemia será reducida si se aplica una cuarentena ?

Preguntas sobre una endemia  ¿Cuál es el número de los infecciosos y cuál es la taza de las nuevas infecciones?  ¿Cuál es el efecto de cuarentena y vacunación ?  ¿Es posible derrotar y erradicar la enfermedad ?

Cómo las matemáticas pueden ayudar ?  Proveen entendimiento del mecanismo de la propagación  Substituyen los experimentos  Ayudan a explicar y interpretar los datos que no son claros Modelos matemáticos:

La ley fundamental de la epidemiología matemática Si el número medio de las infecciones secundarias provocadas por un promedio infeccioso es menor que 1 una enfermedad se extinguirá mientras si excede 1 habrá una epidemia Si el número medio de las infecciones secundarias provocadas por un promedio infeccioso es menor que 1 una enfermedad se extinguirá mientras si excede 1 habrá una epidemia

Modelos compartimentales  R.A Ross recibió premio Nobel en medicina por su trabajo sobre la malaria (malaria puede ser controlada si se controla el número de los mosquitos)  A.G Kendrick y W.O. Kermack formaron un modelo simple que predijo comportamiento de muchas epidemias

Modelo de Kermack- McKendrick  Compartimientos Infecciosos I(t) Susceptibles S(t) Removidos R(t) S(t)+I(t)+R(t)=N, constante -aS(t)I(t) por unidad de tiempo aI(t) por unidad de tiempo

Ecuaciones SIR Un infeccioso promedio hace un contacto suficiente para trasmitir la enfermedad con bN otros por unidad de tiempo Una fracción a de infecciosos deja su compartimiento por unidad de tiempo La población total, contando removidos (eliminados por la muerte o inmunes), no cambia

El Número reproductivo básico Escribimos la ecuación por I(t) en la forma Definamos Si entoncescrece, si entoncesdecrece.

Ejemplos (1) Epidemia S(t)I(t) a=1, b=0.03, S(0)=100, I(0)=10

Definamos el número reproductivo dinámico Definamos el número reproductivo dinámico La taza de crecimiento de nuevos casos de infección

 La epidemia termina cuando el número de los susceptibles disminuye bajo un cierto nivel.  No todos se enferman.  El número total de los enfermos puede crecer aunque la epidemia pierde su fuerza.  Para saber cuándo comienza a acabar la epidemia hay que observar la tasa de crecimiento de los nuevos casos.

(2) Infección sin epidemia S(t) I(t) a=1, b=0.009, S(0)=100, I(0)=10 ¿Cómo bajar y prevenir la epidemia ?

Vacunación ¿Cuántas personas hay que vacunar para prevenir la epidemia ? ¿Cuántas personas hay que vacunar para prevenir la epidemia ? Sea la fracción de la población vacunada. Sea la fracción de la población vacunada. Nuevo es menor que 1 cuando Nuevo es menor que 1 cuando ¡No todos tienen que ser vacunados ! ¡No todos tienen que ser vacunados ! (en nuestro ejemplo 66% de población) (en nuestro ejemplo 66% de población)

Un ejemplo real Epidemia de pete bubónica en el pueblo de Eyam en Epidemia de pete bubónica en el pueblo de Eyam en Fecha (1666) SusceptiblesInfecciosos Julio Julio Agosto Agosto Septiembre Septiembre Octubre 4 desconocidodesconocido Octubre

S(0)=254, I(0)=7, a=2.73, b= S(t) I(t)

Comparación con los datos S(t) I(t)