TEORIA ELECTROMAGNETICA Clase 25 Líneas de Transmisión

Línea de Transmisión Uniforme. Consideramos una línea de transmisión uniforme. Ella es por ejemplo, formada por dos conductores paralelos muy largos.

Línea de Transmisión Uniforme. La distancia de separación entre los conductores es pequeña respecto a la longitud de onda propagándose en ella.

Línea de Transmisión Uniforme. Para analizar las líneas de transmisión se inicia con las ecuaciones de Maxwell para las “componentes transversales” de La forma en que esas componentes Transversales dependen en las “coordenadas Transversales” es la misma que en el caso de condiciones estáticas y sin fuentes.

Línea de Transmisión Uniforme. Los parámetros de las líneas de Transmisión son determinados por los mismos métodos empleados en condiciones estáticas. El voltaje entre los conductores y la corriente en la línea están muy relacionados con las componentes transversales de

Línea de Transmisión Uniforme. En consecuencia, es posible analizar el funcionamiento de una línea de transmisión uniforme de dos conductores por la que se propaga una onda TEM en función de ondas de voltaje y corriente.

Línea de Transmisión Uniforme. Usaremos un “modelo circuital” para obtener las ecuaciones que rigen las líneas de transmisión uniformes generales de dos conductores.

Línea de Transmisión Uniforme. Consideremos una longitud diferencial de una línea de transmisión descrita de la forma siguiente: R = Resistencia por unidad de longitud (ambos conductores) en L = Inductancia por unidad de longitud (ambos conductores) en Henrry/m G = Conductancia por unidad de longitud en S/m C = Capacitancia por unidad de longitud en F/m

Línea de Transmisión Uniforme. Los “elementos circuitales” de la guía de onda cumplen: R y L son elementos serie porque caracterizan propiamente a los dos conductores. G y C son elementos en paralelo porque caracterizan a la línea de transmisión en conjunto con el medio que separa a los elementos de la línea

Línea de Transmisión Uniforme. Por esa razón el circuito que representa a una longitud diferencial de línea de transmisión es el circuito siguiente:

Línea de Transmisión Uniforme. En la figura: Las cantidades y denotan los voltajes instantáneos en y De manera similar, e denotan las corrientes instantáneas en y

Línea de Transmisión Uniforme.

Línea de Transmisión Uniforme. Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff al circuito equivalente, tenemos: que puede escribirse, al dividir por como:

Línea de Transmisión Uniforme.

Línea de Transmisión Uniforme. Reordenando términos y haciendo que podemos escribir: Aplicando la Ley de las Corrientes de Kirchhoff en el nodo “N”, obtenemos:

Línea de Transmisión Uniforme. Dividiendo por y haciendo que obtenemos: Hemos obtenido finalmente dos ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, en términos de la corriente y el voltaje, las cuales están “acopladas”:

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN.

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN Para resolver estas ecuaciones diferenciales, podemos suponer que las funciones de voltaje y corriente cumplen la propiedad de dependencia armónica en el tiempo, dando las funciones como producto de una función dependiente del espacio multiplicada por la función armónica en el tiempo:

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN Las “funciones de amplitud” dependientes de la coordenada “z” evidentemente cumplen las ecuaciones:

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN Reduciendo las derivadas parciales a ordinarias, podemos deducir un par de ecuaciones diferenciales ordinarias:

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN estas ecuaciones podemos escribirlas como:

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN Derivando la primera de esas ecuaciones y sustituyendo la segunda en la primera y viceversa, tenemos : Estas ecuaciones son conocidas bajo la denominación: “ECUACIONES DE LA LINEA DE TRANSMISION CON DEPENDENCIA ARMONICA EN EL TIEMPO”

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN La dependencia funcional del V(z) e I(z) se obtiene de las ecuaciones: dónde se ha sustituido:

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN es la “CONSTANTE DE PROPAGACION” Su parte real e imaginaria representan respectivamente: La “Constante de Atenuación” de la línea de Transmisión La “Constante de Fase”

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN Debemos notar que la nomenclatura adoptada guarda gran similitud a la usada en la propagación de ondas planas en medios con perdidas La dependencia g = g(w) en la frecuencia es algebraicamente complicada y por ello g no es constante

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN La nomenclatura adoptada es posible establecerla porque: Las ecuaciones cumplidas por V(z) e I(z) tienen gran semejanza a las ecuaciones cumplidas por ondas armónicas en medios con pérdidas transmitiéndose en dirección del eje de las “Z”

ECUACIONES GENERALES DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN Es posible concluir que: Relaciones y conclusiones sobre E y H para la propagación de ondas planas armónicas son aplicables a Voltajes y corrientes en líneas de transmisión. Nota: deberán excluirse las propiedades de incidencia oblicua

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Las propiedades eléctricas de una línea de transmisión están en función de los “Parámetros Distribuidos” R, L, G y C Es necesario expresar los valores de esos parámetros para las líneas de transmisión más conocidas

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Premisa Básica: “La conductividad de los conductores en una línea de transmisión es tan elevada que la resistencia por unidad de longitud es muy pequeña” Por esa razón la resistencia en serie es insignificante Las ondas resultantes en la Línea de Transmisión son aproximadamente “Ondas Electromagnéticas Transversales”

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Para una onda plana armónica trasmitiéndose en un medio con pérdidas, el número de propagación complejo es dado por: Si la onda se transmite con una fase dada por Interviene en la ecuación diferencial:

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Comparando las Ecuaciones: Se establece la igualdad g2 = - k2 ^

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Considerando que la fase de la onda plana es La ecuación de Onda de los Telegrafistas Genera la ecuación independiente del tiempo:

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas A partir de esa igualdad podemos escribir

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas A partir de la última igualdad se puede escribir la relación entre número de onda de una onda plana en un medio disipativo y la constante de propagación de la línea de transmisión:

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Eliminando R y dividiendo el segundo binomio por jwC en la expresión de g en la ecuación de línea de transmisión:

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Supongamos que tenemos un condensador relleno de dieléctrico Su capacitancia es dada por: Si el medio dieléctrico no es perfecto, puede tener una conductividad (aunque pequeña) significativa para la existencia de una corriente de conducción de una placa del capacitor a la otra la resistencia asociada es dada por:

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Podemos asociar “una constante de tiempo” dada por el producto RC :

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas A partir de la última relación, es posible escribir la expresión Como:

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas Que coincide con la relación obtenida para la onda plana en un medio disipativo a condición que LC = m e: El producto LC puede considerarse tener el valor me, y de ahí puede calcularse L si se conoce C y viceversa para los parámetros de una línea de transmisión.

Parámetros de las Líneas de Transmisión más conocidas De igual forma, conociendo C, es posible conocer G usando la identidad: La resistencia R, es calculable a partir de la pérdida de potencia en los conductores.

Línea de Transmisión de Placas Paralelas

Línea de Transmisión de Placas Paralelas Esta línea presenta la forma:

Capacitancia e Inductancia de la línea de Transmisión La capacitancia de un condensador de placas planas paralelas: Farads/m La capacitancia por unidad de longitud: Como LC = m e Henry/m

Conductancia de la línea de transmisión Como La conductancia se puede obtener en términos de la Capacitancia: S/m

Estudio de la Resistencia en esta línea Si el metal es real, la resistencia existe porque se trata de “conductor imperfecto” Como l=1, se habla de la resistencia por unidad de longitud: Al considerar que la sección transversal efectiva de conductor es wd

Estudio de la Resistencia en esta línea El campo eléctrico no es nulo dentro del conductor (por existir s): El campo Eléctrico tiene componente tangencial a la superficie de conductor El campo Eléctrico no es Transversal necesariamente Se puede perfectamente suponer que ese campo existe hasta la profundidad de efecto “skin” d Podemos suponer que el campo eléctrico en la región de profundidad de piel, es aproximadamente uniforme (tarea comprobar que el error no es muy grande) Esto permite suponer que el Campo eléctrico genera corriente en un paralelepípedo de sección “Ad”

Estudio de la Resistencia en esta línea La profundidad d es dada por: La resistencia es dada por: La Resistencia total debe duplicarse por tratarse de dos conductores:

Línea de Transmisión Bifilar Cálculo de Parámetros

Línea Bifilar Esta línea esta constituida por: Dos alambres conductores de radio “a” en la sección transversal Una separación uniforme “D” Sumergidos en un medio dieléctrico de constantes m y e

Línea Bifilar La disposición geométrica es:

Línea Bifilar Será necesario calcular los parámetros distribuidos para esta Línea de Transmisión: Capacitancia C Inductancia L Conductancia G Resistencia R

Cálculo de Campos Eléctricos Método de Imágenes

Cálculo de Campos Eléctricos Los Campos eléctricos debidos a cargas eléctricas estáticas se evalúan por medio de la solución de la ecuación diferencial: (Cuando se desea calcular el campo por medio del vector de intensidad de campo eléctrico) Si se busca el escalar potencial eléctrico para dar el campo, se tiene que resolver la ecuación diferencial:

Cálculo de Campos Eléctricos Se debe dar solución a la Ecuación de Poisson En los puntos del espacio donde no existen cargas evidentemente se cumple la Ecuación: (Ecuación Diferencial de Laplace) Debe recordarse que las ecuaciones deben ajustarse al Problema de Condiciones a la Frontera

Cálculo de Campos Eléctricos En general, resolver las ecuaciones de Poisson y Laplace representa un problema que puede complicarse En el caso de Problemas en los cuales hay simetría geométrica, esas ecuaciones simplifican su solución Existe un método que es capaz de resolver esas ecuaciones cuando la simetría es muy fuerte, es el METODO DE IMAGENES

Cálculo de Campos Eléctricos Teorema de Unicidad Dada una ecuación diferencial y unas condiciones a la frontera bien determinadas, LA SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL ES UNICA

METODO DE IMAGENES Un Ejemplo

Problema de ejemplo Una carga Q se coloca frente a un plano conductor que se conecta a tierra, encontrar V(x,y,z) en todos los puntos donde y>0, y encontrar la distribución de carga sobre el plano conductor

Problema de ejemplo Este problema se debería resolver formalmente, por medio de la solución general a la ecuación de Poisson Mas la búsqueda de la solución que se acople a las condiciones de Frontera: V(x,y,z)=0 para todos los puntos del espacio que cumplen y=0 V(x,y,z)=0 para puntos en el infinito

Problema de ejemplo Este problema presenta las condiciones a la Frontera V(x,y,z)=0 en y=0 porque: el conductor es elevado a un mismo potencial según obliga la ecuación en el “interior” del conductor, el potencial debe ser cero, ( por estar conectado a tierra )

Problema de ejemplo Otro problema con las mismas condiciones a la Frontera es: “Una carga eléctrica positiva frente a otra de igual magnitud pero de signo contrario”

Problema de ejemplo Al tener los dos problemas las mismas soluciones generales y las mismas condiciones a la Frontera, por Teorema de Unicidad Las Soluciones son Idénticas

Problema de ejemplo El campo en un punto cualquiera dado por medio del potencial, utiliza las coordenadas dadas en la siguiente figura:

Solución para las dos cargas El potencial eléctrico es dado por Esta es exactamente la misma solución para nuestro problema del plano aterrizado, por cumplirse el Teorema de Unicidad.

Cálculo de rs Para calcular la densidad superficial de carga inducida en el conductor: Es necesario pensar en la relación: la componente tangencial a la frontera del campo eléctrico (0), es continua bajo cualquier circunstancia Evidentemente es necesario primero calcular el vector de Intensidad de Campo Eléctrico a partir de

Cálculo de rs En este caso, la componente normal a la superficie del plano conductor coincide con la componente Ey, es decir:

Cálculo de rs Los gradientes de las funciones que expresan el potencial eléctrico son:

Cálculo de rs El gradiente de V(x,y,z), identificado con el negativo del vector de Intensidad del Campo Eléctrico E es dado por

Cálculo de rs Como la componente normal a la superficie del conductor es la verdadera dirección del vector de Intensidad de Campo Eléctrico: Ese vector en todo punto sobre la superficie del conductor tiene coordenada Y=0, y por ello tiene la forma:

Cálculo de rs Finalmente el campo eléctrico queda: De donde se puede concluir que la distribucion superficial de carga es dada por

Otro ejemplo importante: “Línea Bifilar” Método de Imágenes Otro ejemplo importante: “Línea Bifilar”

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Nuestro objetivo será encontrar la Capacitancia de la Línea Bifilar. Para poder hacerlo, se necesita plantear: El Problema del Cálculo de Campo Eléctrico entre dos líneas de carga con distribuciones iguales y de signo contrario Que generan un Campo Eléctrico de superficies equipotenciales coincidentes a las superficies de los conductores Bifilares

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Se resuelve primero el problema de una línea de carga colocada paralelamente a un conductor de radio “a” de sección transversal

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Ahora la imagen de la carga debe ser otra línea de carga colocada a la distancia “di”del centro del conductor y dentro del conductor La superficie del conductor debe ser una superficie equipotencial

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” La línea de carga tiene densidad longitudinal ri Suponemos que esa carga por simetría del problema. Debe estar en Pi

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Es claro que debemos determinar “dos incognitas”: Como una proposición inteligente, damos la igualdad: Se validará esta igualdad cuando se cumplan las “condiciones a la frontera” del problema

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Como antes, se propone la búsqueda del potencial eléctrico debido a la distribución rl por medio de Notar que ro no puede elegirse como el infinito, para no tener presente esta última cantidad en la expresión del potencial puntual

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” El potencial eléctrico fuera del conductor cilíndrico cumple: El es dado por la suma del potencial debido a ri mas la contribución de rl En el punto M es dado algebraicamente por: Se supondrá que ro es un punto equidistante de rl y ri para facilitar su eliminación algebraica

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Las superficies equipotenciales son lugares geométricos dados por: Si deseamos que la superficie del conductor sea una “Superficie Equipotencial” Los triángulos OMPi y OPM deben ser triángulos semejantes

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Esos triángulos tienen un ángulo común, el ángulo MOPi Otro de los ángulos de ambos triángulos debe ser igual para ellos, proponemos los ángulos OMPi y OPM

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Por semejanza de triángulos se tienen las proporciones: Que pueden expresarse por medio de:

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” A partir de la última expresión, es posible deducir la condición que debe cumplir “di” para que la superficie del conductor sea una equipotencial: El punto Pi es llamado el punto inverso de P respecto al circulo de radio “a”

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” La línea de carga negativa -ri puede sustituir al conductor desde su superficie hacia fuera del mismo. El conjunto de las dos líneas de carga ri y rl pueden representar el campo del arreglo

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Es decir, el arreglo anterior es posible cambiarlo por el arreglo de dos líneas de carga ri y rl (cumpliendo ri =- rl) separadas la distancia d-di. Esta sustitución simplifica el cálculo de V y E a partir de la superficie del hilo conductor de radio de sección transversal “a” Por simetría la superficie conductora de radio “a” con centro a una distancia di a la derecha de rl también es una superficie equipotencial

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Las distribuciones quedan entonces como:

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Resolvamos nuestro problema de calcular la capacitancia de una línea bifilar de separación de centros D y radios de secciones transversales “a”. Las superficies equipotenciales pueden suponerse generadas por dos líneas de carga ri y -rl separadas una distancia D-di = d-di

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” La diferencia de potencial es aquella que hay entre dos puntos cualesquiera de las superficie de los conductores. A partir de la ecuación se obtienen los potenciales sobre las superficies (tomando en cuenta que)

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” V1 es positivo y V2 es negativo porque a<d La capacitancia por unidad de longitud es dada por donde

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Existe otra solución, pero se desprecia porque D y d son mucho mayores que “a”: Sustituyendo en la expresión de la capacitancia tenemos:

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” Si se utiliza la relación entre logaritmos naturales y funciones hyperbólicas: Esto permite reescribir la expresión de la capacitancia:

Cálculo de la Capacitancia “Línea Bifilar” NOTA:Si el diámetro de los conductores es muy pequeño comparado con la distancia de separación entre ellos D/2a>>1, la capacitancia se simplifica a:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” Procedamos a dar los parámetros distribuidos de una “línea bifilar”: Se trata como hemos venido analizando, de dos alambres cilíndricos paralelos de radio “a” y constantes (e,m) La capacitancia (ya calculada) es dada por:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” Usando las expresiones auxiliares de cálculo de los parámetros distribuidos: La inductancia por unidad de longitud es dada por: La Conductancia por unidad de longitud es dada por:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” Para hallar la resistencia es necesario considerar la ecuación: La variable “w d” representa el area por la que existe corriente de conducción asociada a la penetración del campo eléctrico en el conductor Esa área es dada en la figura:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” Esa área es dada por: Como son dos alambres en paralelo esa resistencia debe considerarse al doble:

Línea de Transmisión Coaxial Cálculo de Parámetros Distribuidos

Capacitancia de Línea Coaxial Sabemos que la Capacitancia de un cilindro coaxial de radio interno “a” y externo “b” separados por un medio dieléctrico de constantes (e,m) es dado por:

Parámetros Distribuidos de Línea Coaxial Usando las expresiones auxiliares de cálculo de los parámetros distribuidos: La inductancia por unidad de longitud es dada por: La Conductancia por unidad de longitud es dada por:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” Para hallar la resistencia es necesario considerar la ecuación: La variable “w d” representa el area por la que existe corriente de conducción asociada a la penetración del campo eléctrico en cada conductor Esas áreas son dadas en la figura anexa:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” Esa área es dada por: Como son dos alambres en paralelo esa resistencia debe considerarse al doble:

Cálculo de parámetros distribuidos “Línea Bifilar” En consecuencia la resistencia tiene el valor:

Breve Análisis de Medios con Pérdidas Repaso de las variaciones respecto a nuestro análisis precedente

Medios con Pérdidas Es necesario efectuar un análisis cuando la dependencia funcional del factor de propagación de una onda plana no es dado como lo calculamos sino por: Que genera los operadores:

Medios con Pérdidas La ecuación de Helmholtz se convierte en: Concluyendo en la existencia de la permitividad compleja ahora dada por: Los efectos de perdidas ohmicas y amortiguamiento son incluidos en la parte imaginaria de e: los coeficientes e’ y e’’ son funciones de la frecuencia

Medios con Pérdidas Se define alternativamente una conductividad equivalente que representa todas las perdidas: A la razón e’’/e’ se le denomina TANGENTE DE PERDIDAS y como ya lo habíamos indicado anteriormente en el curso, es una medida de la pérdida de potencia en el medio:

Medios con Pérdidas El ángulo dc es llamado el ángulo de pérdidas Un criterio acerca de la calidad de dieléctrico o conductor es el siguiente: La constante de propagación en un medio con perdidas es dada por:

Medios con Pérdidas Esta constante de propagación se escribe de dos formas distintas como: Analicemos dos casos de aplicación de esta expresión: Dieléctricos con pequeñas perdidas Buenos Conductores

Medios con Pérdidas Un dieléctrico con pequeñas perdidas Se tiene e’’<<e’ o s/we <<1 La constante de atenuación es dada por:

Medios con Pérdidas La impedancia intrínseca de un dieléctrico con pequeñas perdidas es la cantidad compleja: Esta impedancia es la razón de Ex y Hy en una onda plana uniforme Esas ondas están defasadas. La velocidad de Fase es dada por:

Medios con Pérdidas Un buen conductor En un buen conductor s/we>>1 en la expresión siguiente se desprecia 1: Que se reduce a:

Medios con Pérdidas Se puede llegar a encontrar que La impedancia intrínseca de un buen conductor es: La velocidad de fase es dada por:

Medios con Pérdidas El efecto Skin es dado ahora por:

Cuadro resumen de los parámetros distribuidos Casos: Linea biplano Conductor Línea Bifilar Linea Coaxial

Parámetros distribuidos R, L, G y C para las 3 líneas de transmisión

Comentarios sobre la tabla anterior En la tabla anterior se define: Rs es la parte real de la impedancia intrínseca del conductor: A frecuencias altas, la corriente se desplaza a la superficie de los conductores debido al “efecto skin”