Instituto Tecnológico de Saltillo Álgebra Lineal M.C. Ignacio Dávila Ríos Periodo Enero - Junio 2013

Temario: Unidad I. Los Números Complejos. Unidad II. Matrices y Determinantes. Unidad III. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Unidad IV. Espacios Vectoriales. Unidad V. Transformaciones Lineales. Ing. Ignacio Dávila Ríos

Unidad I. Números Complejos. Competencias a desarrollar: Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería. Ing. Ignacio Dávila Ríos

Unidad I. Números Complejos. 1.1 ¿Cuáles son los números complejos? En Cálculo Diferencial e integral se hizo uso de una gama de números, llamados Números Reales, que son: Los Números Racionales y los Irracionales y los Racionales a su vez se dividen en Naturales y Enteros. Ing. Ignacio Dávila Ríos

¿Cuáles son los Números Complejos o de donde provienen? Para Álgebra Lineal se hará uso además de estos números los también llamados Números Complejos, o también conocidos como Números Imaginarios. ¿Cuáles son los Números Complejos o de donde provienen? Ing. Ignacio Dávila Ríos

Considere el problema de encontrar las raíces de los polinomios 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Ing. Ignacio Dávila Ríos

En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Caso 1. Si >0, existen dos raíces reales. Ing. Ignacio Dávila Ríos

En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Caso 1. Si >0, existen dos raíces reales. Ing. Ignacio Dávila Ríos

Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥 2 +5𝑥+6=0 𝑎= 𝑏= 𝑐= Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥 2 +5𝑥+6=0 1 5 6 𝑎= 𝑏= 𝑐= 𝑥 1,2 = −5± ( 5) 2 −(4)(1)(6) 2(1) 𝑥 1,2 = −5± 25−24 2 𝑥 1,2 = −5± 1 2 Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥 2 +5𝑥+6=0 𝑎= 𝑏= 𝑐= 1 5 6 𝑥 1,2 = −5±1 2 𝑥 1 = −5+1 2 𝑥 2 = −5−1 2 𝑥 1 = −5 2 + 1 2 𝑥 2 = −5 2 − 1 2 𝑥 1 =−2 𝑥 2 =−3 Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Caso 2. Si =0, se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a) 𝑥= −𝑏 2𝑎 Ing. Ignacio Dávila Ríos

En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Caso 2. Si =0, se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a) 𝑥= −𝑏 2𝑎 Ing. Ignacio Dávila Ríos

En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Caso 3. Para manejar el caso que <0, se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas. Ing. Ignacio Dávila Ríos

En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Caso 3. Para manejar el caso que <0, se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas. Ing. Ignacio Dávila Ríos

Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥 2 +2𝑥+5=0 𝑎= 𝑏= 𝑐= Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥 2 +2𝑥+5=0 1 2 5 𝑎= 𝑏= 𝑐= 𝑥 1,2 = −2± −16 2 Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

El problema se presenta cuando el radicando se hace negativo o su valor es menor que cero. 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Unidad imaginaria. Que esta dada por la siguiente expresión: 𝒊= −𝟏 Y proviene del hecho de que: 𝒊 𝟐 =−𝟏 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Entonces si 𝑖 2 =−1 y para valores de 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0 se tiene que: 𝑏 2 −4𝑎𝑐 = (4𝑎𝑐− 𝑏 2 )(−1) = 4𝑎𝑐− 𝑏 2 ∙ 𝑖 2 = (4𝑎𝑐− 𝑏 2 ) ∙𝑖 Y las dos raíces de la fórmula cuadrática para valores de 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0 serían: 𝑥 2 =− 𝑏 2 − 4𝑎𝑐− 𝑏 2 2 𝑖 𝑥 1 =− 𝑏 2 + 4𝑎𝑐− 𝑏 2 2 𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Regresando al ejemplo 2 donde 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0 y que en este caso el resultado es −16 podemos expresarlo como sigue: −16 = (16)(−1) = 16 −1 =4𝑖 𝑥 1 = −2+4𝑖 2 𝑥 2 = −2−4𝑖 2 𝑥 1 =−1+2𝑖 𝑥 2 =−1−2𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

𝑧=𝛼+𝑖𝛽 Un número complejo es una expresión de la forma: Donde 𝛼 𝑦 𝛽 son números reales. A 𝛼 se le denomina la parte real de z, (Re z). A i𝛽 se le denomina parte imaginaria de z, (Im z). En ocasiones a esta representación se le denomina forma cartesiana o rectangular del número complejo. Ing. Ignacio Dávila Ríos

Regresando al ejemplo 2 tenemos dos raíces complejas, que son: 𝑥 1 = −1+2𝑖 𝑥 2 = −1−2𝑖 Números Complejos Ing. Ignacio Dávila Ríos 1

𝑧=𝛼+𝑖𝛽 Si el valor de 𝛽=0 entonces 𝑧=𝛼 es decir un número real. Por tanto podemos decir que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos 𝑧=𝛼+𝑖𝛽 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas normales del álgebra. Ejemplo 3. Sean 𝑧=2+3𝑖 y 𝑤=5−4𝑖 Calcular: a) 𝑧+𝑤, b) 3𝑤−5𝑧 c) 𝑧∙𝑤 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Ejemplo 3(a). Sean 𝑧=2+3𝑖 y 𝑤=5−4𝑖 Calcular: a) 𝑧+𝑤 𝑧+𝑤= 2+3𝑖 + 5−4𝑖 = 2+5 + 3𝑖−4𝑖 = 7−𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Ejemplo 3(b). Sean 𝑧=2+3𝑖 y 𝑤=5−4𝑖 Calcular: b) 3w−5𝑧 3𝑤=3 5−4𝑖 =15−12𝑖 5𝑧=5 2+3𝑖 =10+15𝑖 3𝑤−5𝑧= 15−12𝑖 − 10+15𝑖 15−10 + −12𝑖−15𝑖 = 5−27𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Ejemplo 3(c). Sean 𝑧=2+3𝑖 y 𝑤=5−4𝑖 Calcular: c) 𝑧·𝑤 𝑧·𝑤= 2+3𝑖 ·(5−4𝑖)= 2 5 + 2 −4𝑖 + 3𝑖 5 + 3𝑖 −4𝑖 = 10 −8𝑖 +15𝑖 −12 𝑖 2 = 10 +7𝑖 +(−12) −1 = 22+7𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos

Instituto Tecnológico de Saltillo Realizado por: M.C. Ignacio Dávila Ríos Enero 2013 idavila15@hotmail.com