Sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas Unidad 1. MATEMÁTICA APLICADA EN PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO Stephany Cañas Afanador

Definición:

Métodos para la solución de ecuaciones con dos incógnitas

1. Método de reducción Para resolver un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas se elimina una de las incógnitas y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra, esta eliminación de una de las incógnitas puede lograrse sumando o restando las ecuaciones dada después de haberlas multiplicado en casos necesarios por números convenientes. Una vez hallado el valor de una de las incógnitas se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema la cual se resuelve respecto a la otra incógnita.

Ejemplo 1 Revisar si podemos eliminar una de las variables sumando las dos ecuaciones. En caso contrario, multiplicamos por un valor X una o las dos ecuaciones de tal forma que se pueda simplificar una de las variables. Una forma de hacerlo es calculando el Mínimo Común Múltiplo MCM Paso 1 Calcular el valor de la variable no simplificada Paso 2 Remplazar el valor de la variable calculada en el paso 2 en cualquiera de las dos ecuaciones Paso 3

Paso 1. Revisar si podemos eliminar una de las variables sumando las dos ecuaciones En este sistema, para eliminar la variable “y” con sumar ambas ecuaciones es suficiente. 1 2 Paso 2. Calcular el valor de la variable no simplificada

Paso 3. Remplazar el valor de la variable calculada en el paso 2 en cualquiera de las dos ecuaciones En este ejemplo vamos a sustituir la variable “x” en la ecuación ¿Qué hubiera pasado si hubiéramos remplazado el valor de “x” en la ecuación 2? (-1) Como se observa nos da el mismo resultado, por lo que no es necesario remplazar el valor en las dos fórmulas 2 R= (2;5) X Y

Ejemplo 2 Paso 1. Revisar si podemos eliminar una de las variables sumando las dos ecuaciones En este ejemplo para eliminar la variable “x” o “y” es necesario multiplicar por (-2) la ecuación 2 para eliminar la variable “x” o la ecuación 1 para eliminar la variable “y” 1 2

1 (-2) 2 Eliminemos “y” multiplicando la ecuación 1 por (-2)

Paso 3. Remplazar el valor de la variable calculada en el paso 2 en cualquiera de las dos ecuaciones En este ejemplo vamos a sustituir la variable “x” en la ecuación 2. R= (3;2) X Y

2. Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, resaltando una ecuación de una incógnita que se resuelve por el método de solución de ecuaciones lineales. Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas por sustitución se encuentra el valor de la otra

Ejemplo 3 Despejar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. La cual llamaremos ecuación 3 Paso 1 Sustituir la variable despejada en el paso 1 en la otra ecuación con el fin de calcular una incógnita Paso 2 Remplazar el valor de la incógnita calculada en el paso 2 en la ecuación 3 Paso 3

Ejemplo 3 Paso 1. Despejar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones En este ejemplo vamos a despejar “x” de la ecuación

Paso 2. Sustituir la variable despejada en el paso 1 en la otra ecuación 2

Paso 3. Remplazar el valor de la incógnita calculada en el paso 2 en la ecuación 3 3 S= (6;2) X Y

3. Método de igualación Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar cada una de las expresiones obtenidas con el fin de encontrar el valor de una de las variables. Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se remplaza en cualquiera de las cuatro ecuaciones para encontrar el valor de la otra.

Ejemplo 4 Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. La cual llamaremos ecuación 3 y 4 Paso 1 Igualar las dos ecuaciones 3 y 4 Paso 2 Remplazar el valor de la incógnita calculada en el paso 2 en cualquiera de las ecuaciones 1, 2, 3 o 4 Paso 3

Ejemplo 4 Paso 1. Despejar cualquiera de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. En este ejemplo vamos a despejar “x” en las dos ecuaciones

Ahora, despejamos “x” en la ecuación Paso 2. Igualar las ecuaciones 3 y

Paso 3. Remplazar el valor de la incógnita calculada en el paso 2 en cualquiera de las ecuaciones 1, 2, 3 o 4 En este ejemplo vamos a remplazar el valor de “y” en la ecuación 3 I= (6;2) X Y

Ejercicios Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando cualquiera de los métodos vistos anteriormente:

Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas En esta sección estudiáremos la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. El planteamiento de los mismos requiere saber expresar en un lenguaje algebraico las condiciones que en lenguaje común contiene el enunciado del problema tal y como se ilustra en el ejemplo que se describirá a continuación. Pero antes debes conocer lo siguiente:

Un número X Un número aumentado en dos X+2 Un número disminuido en tres X-3 El duplo de un número 2X El triplo de un número 3X La mitad de un número ½ X La suma de dos números es igual a 52. La diferencia entre el triplo del uno y el quíntuplo del otro es igual a 100. ¿Cuáles son los números? Problema 1 En los ejemplos que se describirán a continuación, sólo se plantearan las ecuaciones La suma de dos números es igual a 52 La diferencia entre el triplo del uno y el quíntuplo del otro es igual a 100

La suma del triplo de dos números es 85. La suma de la tercera parte del primero y la quinta parte del segundo es 7. ¿Cuáles son los números? Problema 2 La suma del triplo de dos números es igual a 85 La suma de la tercera parte del primero y la quinta parte del segundo es 7

Ejercicios Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando cualquier de los métodos vistos anteriormente: 4. Para fabricar una pieza entre dos obreros se necesitan 48 minutos. Si la diferencia entre los tiempos empleados entre ambos es de 8 minutos. ¿Qué tiempo empleó cada uno en al fabricación de las piezas? La suma de las enfermedades en una empresa es de 10. La mitad de las enfermedades de origen común es igual al doble de las enfermedades de origen laboral. ¿Cuántas enfermedades de origen laboral y común hay en la empresa? La empresa ABC cuenta con una enfermería en a que se presta servicio en dos turnos de trabajo. La diferencia entre el duplo de las horas adicionales realizadas por María y el cuádruple de las realizadas por Ana es de 4 horas y la mitad del número de horas de María es igual al doble de las realizadas por Ana. ¿Cuántas horas adicionales realizó cada una? 5. 6.

Bibliografía Riquenes, R. M., Hernández, F. R., & Ochoa, R. S. (2012). Sistema de ecuaciones lineales en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior. Cuba: Editorial Universitaria. Retrieved from