Programación Lineal Antonio H. Escobar Z Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia Posgrado en Ingeniería – Maestría/Doctorado

 Abarca un conjunto de métodos científicos que apoyan la toma de decisiones y que permiten determinar la mejor forma de diseñar y operar un sistema bajo condiciones que exigen el uso de recursos escasos o costosos.  Provee un conjunto de algoritmos que pueden ser implementados en sistemas de cómputo y que se constituyen en herramientas efectivas para resolver problemas con soluciones alternativas y tomar decisiones.  Se aplica en todas las disciplinas. Investigación de Operaciones

SIMULACION IDENTIFICACION Evaluación del Funcionamiento del Sistema Información OPTIMIZACION Funciones de Respuesta Parámetros Caracterización Planes de Inversión Políticas Estratégicas Planes Operativos Diseños SIMULACION Verificación de la Bondad de las Decisiones Encadenamiento de modelos Definición de Objetivos y adición de metas

 Complejidad Descriptiva: cantidad de información que debe suministrarse para tener una descripción adecuada del sistema.  Complejidad Generativa: cantidad de instrucciones que se deben dar para construir el sistema bajo estudio.  Complejidad Computacional: cantidad de tiempo y esfuerzo implicado en la solución del problema. En PL esta asociada con el tamaño del problema (n y m).  Complejidad Organizacional: variedad de formas de ordenamiento de los componentes del sistema.  Complejidad Operativa: variedad de modos de operación de los componentes del sistema y del propio sistema. Problema de Programación Lineal complejidad

 Independencia entre variables: La contribución de una variable de decisión a la función objetivo, o al uso de recursos, es independiente de los valores que se asignen a otras variables de decisión.  No negatividad de las variables: las variables de decisión del problema sólo pueden asumir valores positivos o iguales a cero.  Continuidad de las variables: las variables de decisión pueden asumir cualquier valor dentro del rango en que se encuentran definidas. En consecuencia, las funciones de producción y la función objetivo son funciones de primer orden, continuas y diferenciables. Problema de Programación Lineal Características del modelo

 Certeza o determinismo: Se asume que no hay aleatoriedad en los coeficientes que definen a las variables de decisión del problema. No existe realimentación en la cadena: información → decisión → información → decisión → …  Aditividad: El uso total de recursos es la suma de los recursos empleados por las actividades individuales. El valor de la función objetivo es la suma de las contribuciones de las actividades individuales.  Proporcionalidad: Las actividades se pueden representar mediante funciones de producción lineales. Esto implica asumir retornos constantes a escala. Por consiguiente, el uso de recursos por parte de una actividad es proporcional al nivel de la actividad. Problema de Programación Lineal Características del modelo

 Factibilidad e infactibilidad.  Puntos extremos o vértices (SBF).  Direcciones extremas.  Espacio de soluciones limitado o ilimitado.  Espacio de soluciones abierto o cerrado.  Noción de solución en PL.  Cadena: Inicialización → Iteración → Finalización. Problema de Programación Lineal Conceptos asociados

 Alternativas de acción para pasar de un punto a otro: Problema de Programación Lineal Método Simplex Método de Punto Interior

Un modelo matemático representa el desempeño y comportamiento de un sistema, en términos de ecuaciones matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos Un modelo matemático pueden elaborarse a partir del entendimiento físico de un sistema ó a partir de curvas o datos experimentales. El modelo puede estar constituido por ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales ó por la combinación de ellas. Modelo matemático

Mundo Real

Min  t  j  h CT t (GT jth ) sujeto a: GD zth -  u  TN(z) LD uzth = 0 GD zth + GHA zth + DEF zth = DEM zth EN uth -  j  L1(u) GTE juth -  v  L2(u) LL vuth = 0 Min  t  j  h CT t (GT jth ) sujeto a: GD zth -  u  TN(z) LD uzth = 0 GD zth + GHA zth + DEF zth = DEM zth EN uth -  j  L1(u) GTE juth -  v  L2(u) LL vuth = 0

Mundo Virtual Min  t  j  h CT t (GT jth ) sujeto a: GD zth -  u  TN(z) LD uzth = 0 GD zth + GHA zth + DEF zth = DEM zth EN uth -  j  L1(u) GTE juth -  v  L2(u) LL vuth = 0 Min  t  j  h CT t (GT jth ) sujeto a: GD zth -  u  TN(z) LD uzth = 0 GD zth + GHA zth + DEF zth = DEM zth EN uth -  j  L1(u) GTE juth -  v  L2(u) LL vuth = 0

PIB 5.2% Costo de combustibles Hidrología Inflación = 10% Devaluación 12% Costo de transporte Min  t  j  h CT t (GT jth ) sujeto a: GD zth -  u  TN(z) LD uzth = 0 GD zth + GHA zth + DEF zth = DEM zth EN uth -  j  L1(u) GTE juth -  v  L2(u) LL vuth = 0 Min  t  j  h CT t (GT jth ) sujeto a: GD zth -  u  TN(z) LD uzth = 0 GD zth + GHA zth + DEF zth = DEM zth EN uth -  j  L1(u) GTE juth -  v  L2(u) LL vuth = 0 Mundo Virtual Costo de oportunidad

* Una fábrica produce mesas metálicas con superficie de vidrio. * La cantidad de mesas fabricadas semanalmente está limitada por la cantidad máxima disponible de tubos metálicos y de láminas de vidrio que puede adquirir en el mercado: 50 tubos/semana 75 láminas/semana Ejemplo:

Con el propósito de maximizar las ganancias, la fábrica diversifica sus productos. Para esto se diseñan cuatro tipos de mesas y se evalúa la ganancia neta que cada una produce y sus requerimientos de tubos y vidrio. Ejemplo:

Lucro : hierro: vidrio : cantidad disponible

Que modelos debe fabricar y en que cantidad para obtener el máximo lucro?

Ejemplo: Lucro : hierro: vidrio : cantidad máxima disponible variables de decisión: x2x2 x1x1 x3x3 x4x4

x1x1 x2x2 x4x x1x1 x2x2 x4x x1x1 x2x2 x4x max x3x x3x3 + 3 x3x3 + 1 ≤ 50 ≤ 75 Modelamiento: : hierro : vidrio