Teoría elemental de tangencias Teoría elemental de tangencias. Sistematización de la resolución de ejercicios con enlaces. Profesor: José Naranjo Tornero. IES Francisco de Goya. Molina de Segura. Para pasar a la siguiente imagen pulsar [Av Pág] Para pasar a la imagen anterior pulsar [Re Pág]

Estos apuntes están destinados a ofrecer a los alumnos de primero de bachillerato los conceptos y procedimientos necesarios para resolver problemas relativos al tema de tangencias correspondiente a ese nivel educativo y basados en el método de los lugares geométricos. Lugar geométrico.- Línea compuesta por puntos que cumplen una determinada condición. En delante de forma abreviada: LG y con líneas de color rojo.

Conceptos previos: Propiedades de las tangencias. Una circunferencia y una recta pueden ocupar las siguientes posiciones: R d = R Tienen un punto común d La recta y la circunferencia son entonces TANGENTES. d d < R Tienen dos puntos comunes d > R No tienen puntos comunes T El punto común T se llama punto de tangencia. Propiedad.- La recta que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular con la recta tangente.

Conceptos previos: Propiedades de las tangencias. Dos circunferencias pueden ocupar las siguientes posiciones: R1 R2 d d T d R1-R2<d<R1+R2 Tienen dos puntos comunes d=R1-R2 Tienen un punto común d=R1+R2 Tienen un punto común d > R1+R2 No tienen puntos comunes entonces son tangentes exteriores. entonces son tangentes interiores. entonces son secantes. son entonces exteriores. El punto común T se llama punto de tangencia. Propiedad 1.- Los centros y el punto de tangencia están situados en la misma recta. Propiedad 2.- El punto de tangencia está posicionado en un EXTREMO de la linea. Propiedad 1.- Los centros y el punto de tangencia están situados en la misma recta. Propiedad 2.- El punto de tangencia está posicionado ENTRE los centros.

Circunferencias de radio R que pasan por un punto TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS Circunferencias de radio R que pasan por un punto R El LG de los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto es: una circunferencia con centro en el punto y con radio el radio R de las circunferencias. R R R P R LG

Circunferencias que pasan por dos puntos TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS LG Circunferencias que pasan por dos puntos El LG de los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos es: la mediatriz del segmento que los une. P Q

Circunferencias tangentes a una recta en un punto TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS Circunferencias tangentes a una recta en un punto LG El LG de los centros de las circunferencias tangentes a un recta en un punto es: una perpendicular a la recta en ese punto. r T

Circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS Circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto El LG de los centros de las circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto es: una recta que pasa por el centro y por ese punto. LG T

Circunferencias de radio R tangentes a una recta TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS Circunferencias de radio R tangentes a una recta El LG de los centros de las circunferencias de radio R tangentes a una recta es: dos rectas paralelas con la anterior que distan el radio R de las circunferencias. R LG R R R LG

Circunferencias de radio R tangentes exteriores a otra circunferencia TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS Circunferencias de radio R tangentes exteriores a otra circunferencia El LG de los centros de las circunferencias de radio R tangentes exteriores a otra es: una circunferencia concéntrica con la anterior y de radio la suma de los radios. R R1 R2= R1+R LG

Circunferencias de radio R tangentes interiores a otra circunferencia TANGENCIAS: LUGARES GEOMÉTRICOS Circunferencias de radio R tangentes interiores a otra circunferencia El LG de los centros de las circunferencias de radio R tangentes interiores a otra es: una circunferencia concéntrica con la anterior y de radio la diferencia de los radios R1 R2= R1-R R LG

Problema 1.- Trazar circunferencias de radio R tangentes a: TANGENCIAS: PROCEDIMIENTO Problema 1.- Trazar circunferencias de radio R tangentes a: una recta y que pasen por un punto. 1.- LG de la primera condición: 3.- Centros: Intersección de LG1 y LG2 2.- LG de la segunda condición: R 5.- SOLUCIONES LG2 R R P LG1 R C1 C2 R R T1 T2 4.- Puntos de tangencia

Problema 2.- Circunferencias de radio R tangentes a: una recta y TANGENCIAS: PROCEDIMIENTO Problema 2.- Circunferencias de radio R tangentes a: una recta y a otra recta. R LG1 R 3.- Centros: Intersección de LG1 y LG2 1.- LG de la primera condición: 2.- LG de la segunda condición: 4.- Puntos de tangencia R R C2 C3 R T2 R C1 R R C4 T1 LG2 5.- SOLUCIONES

Problema 3.- Circunferencias de radio R tangentes: TANGENCIAS: PROCEDIMIENTO Problema 3.- Circunferencias de radio R tangentes: exteriores a una circunferencia e interiores a otra circunferencia. 3.- Centros: Intersección de LG1 y LG2 2.- LG de la segunda condición: 1.- LG de la primera condición: 4.- Puntos de tangencia 5.- SOLUCIONES LG1 R2 R R T12 R3= R1+R C1 R4= R2-R R T11 R T21 R1 LG2 C2 T22

Problema 4.- Circunferencias de radio R tangentes a: una recta y TANGENCIAS: PROCEDIMIENTO Problema 4.- Circunferencias de radio R tangentes a: una recta y a una circunferencia. R1-R LG2 R1+R 2.- LG de la segunda condición: 1.- LG de la primera condición: 3.- Centros: Intersección de LG1 y LG2 R1 5.- SOLUCIONES (hasta 8 soluciones posibles) 4.- Puntos de tangencia R R R R LG1 T1 C1 C2 C3 T4 C4 R T2 T3 r R T1r T3r R T5r T2r R T6r T4r T5 T6 C5 C6

TANGENCIAS: Método de resolución de problemas de aplicación. 4.- Borrar las líneas inecesarias. 3.- Identificación de tipos de enlaces y su resolución 2.- Trazado de líneas de datos conocidos. 1.- Trazado de ejes de simetría 20+35 Tang int con circ de R1= 20 y ext con circ de R2= 19 Tang ext con circ de R1=19 y tang int con circ de R2= 5 80-20 Tang con recta y tang ext con circ de R1= 35 5 Tang ext con circ de R1= 20 y ext con circ de R2= 50 80+19 50+35 55-5 35+5 19+55

© José Naranjo Tornero 12 de Diciembre de 2006