Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad Límites al infinito Límites infinitos

¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en Analicemos … tiempo (años) clientes f ¿ ? 50 ¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en el largo plazo? ¿ ? Entonces: Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente. 2

Límites al infinito Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe: De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:

Por ejemplo…. y = f (x) y y = L y = M M L x

Por ejemplo….

límite al infinito para funciones polinómicas Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante). Ejemplos: a) b)

Interrogante . . . . . Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor de los siguientes límites?

Interrogante . . . . . También tenemos: Por    , Tenemos que tener cuidado con la definición de la potencia de los números negativos. En particular:

Ejercicio . . . . .

Ejercicio . . . . . Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de  http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html

Ejercicio . . . . . http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html

Ejercicio . . . . . Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de  http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html

Ejercicio . . . . . Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de  So x=2 is a vertical asymptote. On the other hand, we have  So y=1 and y= -1 are horizontal asymptotes. http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html

límite al infinito para funciones racionales Resolución: Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión: 14

Para funciones racionales: Resolución simplificada: Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador: 15

Ejercicios: Calcule los siguientes límites 1. 2. 3. 4.

Problema Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten: donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Límites infinitos Se dice que es un límite infinito si f (x) aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a. Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo: si f (x) crece sin límite cuando x→a. si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

Límites infinitoS La línea vertical x = 3. Esta línea se llama una ASÍNTOTA VERTICAL.

Límites infinitos Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas verticales se pueden presentar: (i) (ii) (iii) (iv)

Ejemplo 2: De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:

¡Interrogante! A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

Ejemplo 1: a. Estime ¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? b. Estime . ¿A dónde tiende ?

Criterio de continuidad Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(c) existe (c está en el dominio de f) 2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc) 3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

CONTINUIDAD 1 2 3 4 y x y = f (x) Continua Discontinua

CONTINUIDAD 1 y x y = f(x) 2

Discontinuidad removible Discontinuidad infinita Discontinuidad removible

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos. Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad. No se puede dividir por 0 Evidentemente no existe f(2) Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2 Números muy pequeños pero negativos: 1,90 – 2 = - 0,1 1,99 – 2 = - 0,01 Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales) Números muy pequeños pero positivos: 1,90 - 2 = 0,1 1,99 - 2 = 0,01 Continuidad de Funciones 28

Veamos la gráfica de la función: Cuando me acerco a 2+ la función va hacia +∞ Cuando me acerco a 2- la función va hacia -∞ Aquí tendremos Una Asíntota vertical De ecuación x=2

Veamos el siguiente ejemplo con una función definida a trozos: Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición. Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición. Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición. Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad

Si nos fijamos en la gráfica de esta función veremos que: Continua en x = 5 Discontinua de 1ª especie en x = 2 con salto de 3 u.

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades. Continuidad de Funciones 32

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable” Tenemos que Dominio de f = R - { 1 } Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1 1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1

Veamos ahora la gráfica de la función Tenemos un agujero para x = 1

y y = f (x) 2 1 x 1 2 3 4

Ejemplo 3: Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:

FIN