Ejemplo nº1 En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primas por cada 1000 l. La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar su beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación

El modelo de P.L.

El modelo de P.L. z: función objetivo CT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o. XT (x1,...,xn): vector de variables de decisión A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos b (b1,...,bm): vector de demandas Matricialmente, Opt CTX s.a. AX b x  0 Forma canónica

Propiedades del modelo lineal Proporcionalidad La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable Aditividad El coste y las restricciones son la suma directa de las variables Divisibilidad Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción

Modelos de prog. entera El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras Programación entera mixta (MIP) x  R+, y  Z+ Programación entera pura (IP) x  Z+ Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP) x  {0,1}: variables de asignación, lógicas Son problemas más complicados de resolver que los de P.L. El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

Problemas típicos Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajante (TSP) Problema de rutas óptimas

Problema del transporte Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta xij: unidades a enviar de origen i a destino j cij: coste unitario de transporte de i a j ai: unidades de oferta en el punto origen i bj: unidades de demanda en el punto destino j Se supone oferta total igual a demanda total

Flujo con coste mínimo en red Embarcar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda a coste mínimo xij: unidades enviadas de i a j (flujo) cij: coste unitario de transporte de i a j bi:recursos disponibles en un nodo i oferta: bi>0 demanda: bi<0 transbordo: bi=0 Se supone oferta total igual a demanda total

Problema de asignación Minimizar el coste total de operación de modo que: - cada tarea se asigne a una y sólo una máquina - cada máquina realice una y sólo una tarea xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina j cij: coste de realizar la tarea i con máquina j n tareas m máquinas Si hay más máquinas que tareas se formula con desigualdades, y se resuelve con tareas ficticias

Problema de la mochila Escoger un grupo de productos que maximice el valor total sin exceder el espacio disponible n objetos aj: espacio que ocupa el objeto j cj: valor del objeto j b: volumen de la mochila xj: 1 si se escoge el objeto j

Problema de rutas Minimizar el coste total, visitando todos los clientes N: clientes M: vehículos xijk=1 si el vehículo k visita j después de i cij: coste unitario de transporte de i a j dij: distancia de i a j tij: tiempo de i a j qi: demanda si: tiempo de descarga i: prioridad Qk: capacidad rok, dok: período tiempo disponible ck: coste fijo por uso

Administacion del tiempo DEFINICION El Sistema PERT es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

Usos del Sistema PERT El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

PLANIFICACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS Podemos definir un proyecto como una serie de tareas relacionadas, parcialmente ordenadas y generalmente dirigidas a la obtención de un resultado importante, por lo que requiere un largo período de tiempo para su finalización. Planificación y control de proyectos DIRECCIÓN DE PROYECTOS Planificación Fases Programación Control

Ventajas del Pert OBLIGA A ANALIZAR LAS TAREAS INVOLUCRADAS Y VER LAS PRECEDENCIAS DE TAREAS PERMITE ESTIMAR EL TIEMPO DE TERMINACION Y EL COSTO TOTAL DEL PROYECTO DETECTA TAREAS NO CRITICAS POSIBLES DE RETASAR POSIBILITA ANALIZAR LAS CONSECUENCIAS DE CAMBIOS DE RECURSOS Y COMO AFECTAN LOS TIEMPOS Y COSTOS

Representacion Grafica Para aplicar PERT CPM se requiere conocer la lista de actividades que incluye un proyecto. Se considera que el proyecto esta terminado cuando todas las actividades han sido completadas. Para cada actividad, puede existir un conjunto de actividades predecesoras que deben ser completadas antes de que comience la nueva actividad. Se construye una malla o red del proyecto para graficar las relaciones de precedencia entre las actividades. En dicha representación grafica, cada actividad es representada como un arco y cada nodo ilustra la culminación de una o varias actividades.

Planificación del Proyecto 1.- Determinación de objetivos Resultado Coste Tiempo 2.- Definición del proyecto Proyecto, hitos, sub-hitos y actividades 3.- Determinación de los recursos necesarios 4.- Organización del proyecto Equipos de proyecto

Programación y control del proyecto PROGRAMACIÓN DEL PROYECTO Asignar los distintos recursos (personas, dinero, materiales, etc.) a las distintas actividades que componen el proyecto, identificando la relación existente entre las distintas actividades para lograr una asignación de recursos óptima Gráficos Gantt y los métodos CPM y PERT CONTROL DEL PROYECTO Coste Calidad Tiempo

Técnicas de planificación y control de proyectos A.- GRÁFICAS GANTT Gráficas Gantt Fecha actual (15 de Julio) INVESTIGACIÓN DE MERCADOS DESARROLLO DEL CONCEPTO TESTS DE VIABILIDAD DISEÑO PRELIMINAR DISEÑO DEL PROCESO FABRICACIÓN DE PROTOTIPOS PRUEBAS DE MERCADO DISEÑO FINAL LANZAMIENTO Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Tiempo (meses)

Técnicas de planificación y control de proyectos B.- MÉTODO DEL CAMINO CRÍTICO (CPM) Método del camino crítico (CPM) ETAPAS 1.- Dibujar el grafo que muestre la secuencia de las distintas actividades. 2.- Calcular los tiempos de cada actividad. 3.- Calcular la holgura de cada actividad. 4.- Determinar el camino o caminos críticos.

Técnicas de planificación y control de proyectos Método PERT c.- MÉTODO pert Duraciones aleatorias Tiempo pesimista Tiempo normal o más probable Tiempo optimista

Tecnica de Graficado

Consideremos un proyecto que consta de solo dos actividades A y B Consideremos un proyecto que consta de solo dos actividades A y B. Supongamos que la actividad A es predecesora de la actividad B. La representación grafica de este proyecto se muestra en la figura. Así, el nodo 2 representa la culminación de la actividad A y el comienzo de la actividad B.

Actividad Es la ejecución real de una tarea. Recordamos que un acontecimiento sólo era el comienzo o final de una tarea, no su ejecución. Lo representaremos por un flecha, en dónde colocaremos el nombre de la actividad y el coste de tiempo que supone:

El el caso siguiente tenemos dos actividades consecutuvas