Estadística Analítica: Conceptos básicos de probabilidad y distribución de probabilidad.

Temas: Conceptos de probabilidad Propiedades de la probabilidad Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias Variable aleatoria discreta y continua Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Distribución binomial como ejemplo de la distribución de una variable aleatoria discreta. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua: Función de densidad. Modelo Normal, descripción y características. 2 semanas

Parentesis

Espacio Muestral Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un proceso experimental u observacional. Será denotado con la letra griega omega (Ω). Ejemplo: Considérese un experimento que consta de la observación de 3 semillas en un cierto orden, cada una de las cuales puede estar sana (situación que se representará con el signo “+”) o bien enferma (situación que se representará con el signo “-”). Hay 8 resultados posibles en el experimento, los que conforman un conjunto que se denomina espacio muestral y que a continuación se representa: Ω = {+ + + , + - - , + + - , - - + , + - + , - + - , - + + , - - -}

Punto muestral Se llama punto muestral o evento elemental a cada uno de los elementos del conjunto Ω y será denotado genéricamente como: ω. Ejemplo: un punto muestral es el resultado posible “tres semillas sanas” (representado por ω = (+ + +)), otro punto muestral es “la primera semilla sana y las otras dos no” (ω = (+ - -)). EVENTO: Dado un espacio muestral Ω, se llama evento a cualquier subconjunto de Ω. Ejemplo: Un evento de Ω, puede ser “observar una semilla cualquiera sana y las otras no”. Este evento esta constituido por los siguientes puntos muestrales: A = {+ - - , - + - , - - +}.

Eventos mutuamente excluyentes Ejemplo: Tirar un dado y obtener 4 y 5, en un solo lanzamiento, ¿se puede ser macho y hembra al mismo tiempo?

Pero… Ejemplo eventos que no son mutuamente excluyentes: En el clima, que llueva y haga sol, ser veterinario y al tiempo musico, etc.

Probabilidad Es una medida entre 0 y 1 que se aplica a eventos o sucesos (conjuntos). Es intuitivamente un valor limite con que ocurre un suceso (Ejm: cara de la moneda ½). Hacer experimento de la moneda, con 2 lanzamientos, 10 lanzamientos y 40 lanzamientos. Medido como el número de casos “favorables” sobre el número de casos posibles. se llama medida de probabilidad si satisface los siguientes axiomas:

Axiomas i. P(Ω) =1 ii. P(A) ≥ 0, donde A representa un evento cualquiera de Ω iii. Si A1, A2, ... es una secuencia de eventos mutuamente excluyentes entonces: P (Ui Ai) =Σ P (Ai) .

Ejemplo Considérese que la observación de una semilla es un ensayo. Suponga que con A se representa el evento “encontrar la semilla germinada”. Si se observan 1000 semillas (se repite 1000 veces el ensayo, N = 1000), en condiciones tales que cada observación sea independiente una de otra y si 600 semillas germinan (nA = 600), se dice que la probabilidad estimada de observar una semilla germinada, está dada por: En este caso se habla de probabilidad estimada o aproximada por una cierta proporción ya que se usó la noción de límite para calcular P(A). La noción de límite para N→ ∞ debe ser interpretada para “N suficientemente grande”. P(A) = P(observar una semilla germinada) =nA/N = 600 / 1000 = 0.6

ejercicio ¿Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado una vez obtenga un número par? Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Si p(w)=1/6, entonces el evento de interés (A) es “que salga un número par” A={2,4,6}, tenemos que: P(A)=1/6+1/6+1/6=3/6=0,5

Suma de probabilidades Hay dos reglas prácticas que se usan constantemente: La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los eventos que lo componen. P(A ó B)=P(A)+P(B), siempre que A y B no puedan ocurrir al mismo tiempo (mutuamente excluyentes). La regla general es: P(A ó B)=P(A)+P(B)-P(A y B) Si P(A y B)=0 los eventos son mutuamente excluyentes. Ejemplo: Al tirar un dado, cual es la probabilidad de obtener en el primer lanzamiento 4 ó 5?.

Eventos mutuamente excluyentes Son eventos donde la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. La solución de problemas que involucran eventos mutuamente excluyentes, señalan que la suma de probabilidades debe ser realizada. Ayuda: Usualmente se usa la conjunción “o” en sus enunciados para refererirse a eventos mutuamente excluyentes Ejemplo: En dos lanzamientos de una moneda hay dos maneras de obtener cara y sello Primer manera: cara (p=1/2) y Sello (q=1/2); Pr=1/2*1/2=1/4 Segunda manera: sellos (q=1/2) y cara (p=1/2); Pr=1/2*1/2=1/4 La probabilidad combinada es= ¼+ ¼ = ½ Es decir, que se puede obtener cara y sello en dos lanzamientos, de la primer manera o la segunda

Multiplicación de probabilidades La probabilidad de que ocurra A y B simultaneamente es la probabilidad de que ocurra A dado B (condicional) por la probabilidad de B. P(A y B)= P(A|B)P(B), Pero, si A y B son independientes P(A|B)=P(A), entonces: P(A y B)=P(A)*P(B). Ejemplo: ¿cual es la probabilidad de que al lanzar una moneda obtenga cara y que acto siguido lance un dado y obtenga un 5?

Combinación de probabilidades Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la del otro. Cuando dos eventos independientes ocurren con una probabildiad p y q respectivamente, entonces la probabilidad de su ocurrencia conjunta es p*q. Ayuda: Si la conjunción “y” es usada en la frase del problema la asunción de independencia es pertinente. Ejemplo: Un genetista le dice a una pareja que la probabilidad de que su hijo tenga ojos azules es del 20% y que la probabilidad de que sea rubio es del 40%. ¿cuál es la probabilidad de que el hijo sea rubio y tenga ojos azules?, ¿cuál es la probabilidad de que sea rubio y no tenga ojos azules?

Ejercicio Al lanzar una moneda “legal” hay igual probabilidad de tener cara o sello (p=1/2, q=1/2). Si se lanza la moneda dos veces. ¿Cual es la probabilidad de sacar dos sellos? En el cruce en el cerdo de guinea (Bb x bb), sabemos que a probabilidad de tener individuos negros (Bb) es de p=½ y blancos (bb) de q=½. ¿cuál es la probabilidad de tener los dos primeros hijos blancos?

El baloto Se gana el premio mayor si se aciertan 6 números determinados elegidos de un conjunto de 45. el jugador elige 6 números como lo muestra la imagen.

A jugar el baloto Para ganar no existe ningún orden entre las cifras. Si las balotas en el día del sorteo son: {5,14,26,28,35 y 44}, ¡ganaste! Se debe tener en cuenta que cualquiera de los conjuntos de 6 números es igual de probable. Puede expresarse la probabilidad de hacerse millonario jugando el baloto así: El valor del numerador es 1. Un conjunto de datos {5,14,26,28,35 y 44} Y el denominador?

Número total de posibles conjuntos El número de posibles conjuntos de seis números es muy grande. Es impractico mirar todos los posibles conjuntos para ontarlos. Pero, ¡existe una formula que permite hacertlo rapidamente!. La formula de una combinatoria: ¿cuántos conjuntos de 6 elementos pueden construirse a partir de 45 elementos, si no importa el orden de los elementos? En caso que el orden de los elementos que conforman el conjunto, fuera importante, esto es si, {1,2,3,4,5,6} es diferente de {6,5,4,3,2,1}, se utilizan permutaciones en vez de combinaciones. 45P6=45!/(45-6)!=45!/39!=5864443200

Baloto P(ganar)=1/8`145.060=0.000000123, ¡Es mejor buscar la riqueza de otro modo! Si bien resulta entretenido calcular este tipo de probabilidades, no nos sirve mucho para la investigación. En investigación nos interesa saber cosas como: ¿cuál es la probabilidad de obtener individuos que produzcan más de 25 litros de leche por día? Por eso es importante definir otros tipos de probabilidad, por lo que antes hay que plantear algunas definiciones.

Experimento aleatorio Es cualquier acción que genera una respuesta cuyo resultado no es previsible con antelación. Ejemplo1: Lanzar un dado y anotar el resultado Ejemplo 2: Medir la leche por día en una vaca y anotarla Ejemplo 3: Revisar el envés de una hoja y contar el número de huevos de un insecto. Variable aletoria: Función que asigna un número real a cada uno de los elementos del espacio muestral. Variable aleatoria discreta: Tiene en cuenta escalas en los enteros positivos, incluso en categorías. Variable aleatoria continua: Tiene en cuenta escalas reales.

Distribución acumulada Se denota por f(x) y asocia cada número de la variable aleatoria X a cada número real x de la probabilidad p(X<x). La función de distribución acumulada, o simplemente función de distribución, de una variable aleatoria X, denotada por F(.), es una función F:ℜ→[0,1] tal que: F(x) = P([X ≤ x]) ∀ x ∈ ℜ. FUNCIÓN DE DENSIDAD: Define la probabilidad de tomar un determinado valor Permite saber la probabilidad de que X=x que en el caso de una variable aleatoria continuas P(X=x)=0 y en las discretas P(X=x)>=0.

Distribución de una variable aleatoria Considere el experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas y anotar el número de sellos. f(x) es una función que asigna una probabilidad entre 0 y 1 a cada uno de los posibles valores de la variable aleatoria X.

Función de masa de probabilidad Algunas funciones masa de probabildiad (variables discretas), pueden expresarse en forma tabular, así: Una función de masa de probabilidad debe satisfacer las siguientes condiciones: Aunque existen muchas funciones, sólo unas cuantas son usadas para modelar fenomenos naturales; nos concentramos en unas de ellas ¿Y acumulada?

Distribución binomial Es una distribución discreta con valores 0 y 1. Cuenta el número de exitos en una secuencia de n ensayos Bernoulli inependientes entre sí, con una probabilidad p de ocurrencia del éxito y q=(1-p) del fracaso. La variable aleatoria binomial contabiliza el número de éxitos. Se requiere independencia entre experimentos Bernoulli. Ejemplos: Concepción (1=sí, 0=no), Tiene un genotipo, etc La probabilidad de que la variable tome un valor X es: P(X=x)= , donde: Los experimentos Bernoulli dependiente, dan lugar a un experimento Hipergeométrico y no Binomial, a no ser que el tamaño de la muestra sea muy grande y no haya un efecto importante de la dependencia.

Ejemplo: Dist Binomial Supongamos que la probabilidad de encontrar el genotipo (-/-) en el gen bGH para el ganado Holstein es de 0.3. Si tomamos 60 animales al azar, cual es la probabilidad de obtener el genotipo (-/-) 25 veces. En este caso tenemos X~B(n,p)X~B(60, 0.3) Para esto hay calculadoras en internet: http://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx

Ejercicio Cual es la probabilidad de obtener más de 25? ¿y menos de 25?

Ejemplo Se someten 3 insectos a la acción de un insecticida y se evaluan sus estados (vivo o muerto) después de 10 minutos. Éxito: muerto Fracaso: vivo El espacio muestral del experimento es: S={vvv, vvm, vmv, mvv, vmm, mvm, mmv, mmm} ¿Cual es la probabilidad de que todos esten vivos? Teniendo en cuenta que la probabilidad de éxito según el fabricante es 0.8. La esperanza de una variable aleatoria esta dada por E(X)=np y la varianza V(X)=npq

Función de densidad de una variable aleatoria continua

Distribución Normal o de Gauss La mayoría de los caracteres cuantitativos ó métricos de interés en el mejoramiento animal siguen esta distribución. Los parámetros que lo caracterizan son la media (μ) y la desvición estandar (σ). Si se consideran dos variables simultaneamente, se llama distribución binormal y si se tratan más de dos se lama multinormal, con un parámetro adicional llamado covarianza entre las variables (σXY). La distribución normal es simetrica

Distribución normal Tiene la propiedad de contener 68,27% de las observaciones entre μ +/- σ; 95,45% entre μ +/- 2σ y 99,37% en el intervalo μ +/- 3σ

Distribución Normal Para un carácter determinado, las poblaciones pueden tener diferente media y diferente varianza, o igual media y diferente varianza ó igual varianza y diferente media. Comparar D A B E C

Curva Normal Existen infinitas distribuciones normales. Cada una de ellas queda especificada por los parámetros μ y σ2. Es por ello que cuando se quiere indicar que una variable X tiene distribución normal caracterizada por μ (esperanza) y σ2 (varianza) se escribe: X ∼ N (μ,σ2)

Estandarización Para entenderlo se plantea el siguiente ejemplo: supóngase que la longitud de las alas de la mosca de los frutos tiene función de densidad normal y que la longitud de las alas de gallinas también. Sin embargo sus parámetros son distintos y es de esperar que el promedio de las alas de las moscas sea menor al de las gallinas. Para tratar estos valores se usa una transformación que hace que variables aleatorias con funciones de densidad normal diferentes, se distribuyan de la misma manera bajo la transformación. Facilitando así los cálculos de probabilidades Estandarización

Hay acumuladas o por colas Normal estandar Para calcular la probabilidad de que un valor se encuentre entre dos limites dados (Intervalo de confianza), es posible estandarizar las variables X~N(μ,σ) a una normal con media 0 y desviación estándar 1, así: X*=Z= (X-μ)/σ ≈ N(0,1) ¡Cuidado! Hay acumuladas o por colas

Ejemplo: Si X ~ N (μ,σ2) con μ = 10 y σ2 = 4 y se desea conocer la P [ 8 ≤ X ≤ 9 ] se procede de la siguiente manera: Se estandariza de modo que queda: z1 =8-10/2= -1 y z2 =9-10/2= - 0.5 Luego: A = P [ 8 ≤ X ≤ 9 ] = P [ -1 ≤ Z ≤ -0.5 ] = B, ilustrado en la siguiente figura:

Ejemplo (Continuación) Calcular B = P [ -1 ≤ Z ≤ -0.5 ] como se explica a continuación: Para encontrar el valor del área sombreada en el gráfico anterior, deberíamos resolver una integral, afortunadamente las integrales acumuladas de la normal estandar están calculadas en tablas, por lo tanto sólo es necesario hacer un resta de las probabilidades acumuladas (TABLAS). B = P [ -1 ≤ Z ≤ -0.5 ]=P[Z≤-0.5]-P[Z≤-1]=0.2912-0.1469=0.1443, Osea que es 14.43%

Ejemplo 2 La altura de la cruz de novillas Brangus (270 días) se distribuye normalmente con media de 120 cm y una desviación estandar de 14 cm. ¿cuál es la probabilidad de encontrar una novilla de menos de 100 cm? Definir α, que generalmente es 0.05. Z=(100-120)/14= -1.428 Entonces, buscando en las tablas: P(x<100)≈0.07, es decir, que la probabilidad de obtener un valor menor de 100 cm es del 7%.

Gracias Menos mal este no es ese 50%