CINEMÁTICA Repaso

Ejercicio: Sea el movimiento definido por la siguiente ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos. 10 y x 5 t (s) r (m) 0 8 j (0,8) 2 4 i + 8 j (4,8) 4 8 i + 8 j (8,8) 6 12 i + 8 j (12,8)

Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m Ecuaciones paramétricas: x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3 Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2 Y sustituyendo en la segunda: y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3 y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3 y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3 Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13

t (s) r(t) (m) r(t) (m) Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria. t (s) r(t) (m) r(t) (m) ——— 0 – 6 j (–6)2 = 6,00 ———— 2 6 i + 2 j 62 + 22 = 6,32 —————— 4 12 i + 26 j 122 + 262 = 28,64 —————— 6 18 i + 66 j 182 + 662 = 68,41 Despejando “t” de x = 3 t  t = x/3, y sustituyendo en y = 2 t2 – 6 queda: y = 2(x/3)2 – 6; y = 2x2/9 – 6

Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66). 50 y x 25 5 10 15 y = 2x2/9 – 6

Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior: r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s. r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m r2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m r = r2 – r1 = x i +  y j + z k = [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m r = (6 i + 24 j) m ———– ———– r=  62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m

Espacio recorrido (s) Es una magnitud escalar que mide la longitud de trayectoria recorrida. NO hay que confundir con el vector desplaza- miento, aunque en tra- yectorias rectilíneas y que no cambien de sen- tido el movimiento s = r En el S.I. la unidad será el m.

 Velocidad media (vm = vm) r x i +  y j vm = — = ————— t t x y vm = —— i + —— j t t vm = vmx i + vmy j El módulo del vector vm toma el valor: ——————— vm=  vmx2 + vmy2

Ejercicio: Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(2t2 – 4) · i + (1 – 4t) · j] m r1 (t =2 s) = (4 i – 7 j) m r2 (t =5 s) = (46 i – 19 j) m r (2s5s) = r2 – r1 = (42 i – 12 j) m r (42 i – 12 j) m vm (2s5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s t 5 s – 2 s ————————— vm (2s5s)=  (14 m/s)2 + (– 4 m/s)2 = 14,56 m/s

 Velocidad instantánea (v = v) Es el valor límite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.

Ejemplo: Calcular la velocidad instantánea aproxima-da ( t = 0,1 s) en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2–6) j] m Sea  t = 0,1 s, suficientemente pequeño: deberemos conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r2 (t =2,1 s) r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m r2 (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82 j) m r = r2 – r1 = (0,3 i + 0,82 j) m r (0,3 i + 0,82 j) m vaprox (t=2 s) = — = ——————— = (3 i + 8,2 j) m/s t 0,1 s ———— vaprox (t=2 s)=  32 + 8,22 m/s = 8,73 m/s

Ejercicio: Calcular la velocidad instantánea más aproximada en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m Si queremos calcular v (t=2 s) de forma más aproximada deberemos tomar un  t aún menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s). r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j) m r = r3 – r1 = (0,03 i + 0,0802 j) m r (0,03 i + 0,0802 j) m vaprox (t=2 s) = — = ———————— = (3 i + 8,02 j) m/s t 0,01 s ————— vaprox (t=2 s)=  32 + 8,022 m/s = 8,56 m/s

Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v r x i +  y j + z k v = lim — = lim ———————— t0 t t0 t dr dx dy v = —— = —— i + —— j dt dt dt v = vx i + vy j

Velocidad instantánea (cont.) La dirección de v es tangente a la trayectoria en el instante en el que calculemos la velocidad. El sentido es el del movimiento.

r x i +  y j + z k v = lim — = lim ———————— t0 t t0 t Ejemplo: Calcular la expresión del vector velocidad del movimiento anterior: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo. r x i +  y j + z k v = lim — = lim ———————— t0 t t0 t 3(t+t) – 3t [2(t+t)2–6 – [2t2–6] v = ————— i + ————————— j = t t 3t + 3 t – 3t [2t2 + 4t t + 2(t)2–6]–[2t2–6] = —————— i + ————————————— j = t t v = dr/dt = 3 i + 4t j Ecuación de la ya que t  0 velocidad

Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j Ejemplo (continuación): Calcular la expresión del vector velocidad del movimiento anterior r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo. Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s) — 0 3 i 32 = 3 ——— 2 3 i + 8 j 32 + 82 = 8’54 ———– 4 3 i + 16 j 32 + 162 = 16’28 ———– 6 3 i + 24 j 32 + 242 = 24’19

Aceleración media (am = am) La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variación de velocidad con el tiempo. v vx i +  vy j + vz k am = — = ————————— t t am = amx i + amy j + amz k En el S.I. la unidad será el m/s2

Aceleración instantánea (a = a). v vx i + vy j + vz k a = lim — = lim ————————— t0 t t0 t dv dvx dvy dvz a = —— = —— i + —— j + —— k dt dt dt dt a = ax i + ay j + az k La dirección y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad v ya que t es un escalar.

Ejemplo: Calcular la expresión del vector acelera-ción del movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo. Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j Ecuac. de la aceleración: a = dv/dt = 4 j Para todos los valores de tiempo a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no depende de “t”. — a (m/s2) = 42 m/s2 = 4 m/s2

Componentes intrínsecas de la aceleración Únicamente en los movi- mientos rectilíneos a tiene la misma dirección y sen- tido que v. En general, a tiene una dirección y sen- tido hacia dentro de la curva, con lo que normal- mente se descompone en dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.

Componentes intrínsecas de la aceleración (at y an) a = at + an = at ·ut + an·un siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleración. v dv v2 at=at= lim —— = —— ; an=an= —— t0 t dt R siendo R el radio de curvatura de la trayectoria. Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R ——— Igualmente llamamos a = a=  at2 + an2

Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal y el módulo del vector a a los 6 s. a) dv 7(t+t) – 7t 7t + 7 t – 7t 7 t at = —— = ————— = —————— = —— = 7 m/s2 dt t t t at = 7 ut m/s2 b) v2 49 t2 m2·s-2 an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2 R 1000 m an (t= 6 s) = 0,049 ·62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; an = 1,76 un m/s2 ———— ————— a (t= 6) =  at2 + an2 =  72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2

Método práctico de derivación de polinomios Ejemplo: x = 5 t3 + 4 t2 – 3 t + 2 dx/dt = 15 t2 + 8t – 3 En general, sea y = a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g La derivada dy/dx se obtiene: dy/dx = n·a· xn–1 + (n –1)·b· xn–2 + ... + f

Movimiento Rectilíneo Uniforme M.R.U. Se cumple que a = 0 at = 0 an = 0

Ecuación escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con lo que: v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda: vx = k ; x = x0 + vx· t que se les denomina ecuaciones escalares.

Representación gráfica x/t. x(m) t(s)  t x x0 x = v · t + x0 Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

Representación gráfica v/t Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”. v(m/s) t(s) vx = k

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado M.R.U.A Se cumple que a = k · ut at = k = a an = 0 Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

Ecuaciones escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que: v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones escalares: vx = ax · t + v0x x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2 Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán: vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2

Ecuación vx = f(x). Despejando “t en la ecuación vx = ax · t + v0x : vx –vox t = ———— ax y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2 vx –vox 1 (vx –vox)2 x = x0 + v0x · ——— + — ax · ———— ax 2 ax2 2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox Despejando vx: vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)

Representación gráfica a/t aX (m/s2) Al representar “a” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “a” es constante y no varía con “t”. ax = k t(s)

Representación gráfica v/t t(s) v0x vx = v0x + ax · t Vx (m/s)  t vx Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “ax” (ax = tg ) y la ordenada en el origen es v0x.

Representación gráfica x/t t(s) x(m)  t x Vx= 0 x0 Al representar “x” frente a “t” se obtiene una parábola cuya pendiente “v” varía con el tiempo y que vale 0 cuando el movimiento cambia de sentido (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

Composición de movimientos Se basan en dos principios: P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de considerarlos simultáneos o sucesivos. P. de superposición: La posición, velocidad y aceleración vienen dados por la sumas vectorial de los movimientos parciales. Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se pueden considerar independientes. El tiempo es la única magnitud común para ambos.

Composición de dos movimientos uniformes perpendiculares. La ecuación de velocidad será: v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes. La ecuación de la posición será: r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j En la práctica se tienen dos ecuaciones independientes con el “tiempo” común: vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra se obtiene la ecuación de la trayectoria: vy y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta vx

Tiro parabólico Ecuaciones del movimiento: Es una composición de dos movimientos: un MRU en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída libre) en el eje vertical (de las “y”). Ecuaciones del movimiento: a = – g · j ; v = v0x · i + (v0y – g · t) · j r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j v0x = v0 · cos  ; v0y = v0 · sen  Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que: v = v0 · cos  · i + (v0 · sen  – g · t) · j r = v0·cos  · t · i + (h + v0·sen  · t – ½ g · t2)· j

Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas. a) v0 = 13,28 m/s b) t = 2,26 s x = x0 + vx· t y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2 vy = ay · t + v0y Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso. x = x0 + vx· t y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2 vy = ay · t + v0y Alcance (x para y=0). Tiempo en el aire, t para y=0 Altura máxima (y para vy = 0). x(= 30º) = 19,9 m x(= 45º) = 23,0 m x(= 60º) = 19,9 m t (= 30º) = 1,53 t (= 45º) = 2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s c) y (= 30º) = 2,87 m y (= 45º) = 5,74 m y (= 60º) = 8,61 m

MOVIMIENTOS CIRCULARES

Movimientos circulares El vector posición r va cambiando continuamente de dirección y sentido pero no así su módulo: r= R (radio) Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en segundos. Frecuencia (): Es el número de vueltas que da por unidad de tiempo. Se mide en herzios = s–1. T = 1/ 

Movimiento Circular Uniforme M.C.U. Se cumple que a  0 at = 0 (v = cte) an = k (como v = cte  R = cte)

Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s. a) 90 vueltas min 2  rad  = ————— · ——— · ———— = 3  rad/s min 60 s vuelta b) 3  rad v =  · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s s c) 3  rad  =  · t = ———— · 10 s = 30  rad = 15 vueltas s

Relación entre ecuaciones lineales y angulares. MRU v = k (constante) Ecuación e = f(t): e = e0 + v · t MCU  = k (constante) Ecuación  = f(t):  = 0 +  · t e =  · R v =  · R