Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos

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1 Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos
Índice Normas vectoriales y matriciales. Sistemas mal condicionados: Errores, residuos y nº de condición. Método de Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Convergencia de los métodos iterativos. Método de Newton para sistemas no lineales

2 Normas Vectoriales

3 Normas Matriciales Norma Natural de una matriz A asociada a una norma vectorial : Se puede demostrar : Hacer en la pizarra el ejemplo de cálculo de normas matriciales

4 Sistemas mal condicionados: Errores, residuos y nº de condición.
Sea el sistema y los vectores solución exacta y solución aproximada : Se definen como Error, Residuo y Residuo relativo Hacer el ejemplo con mathematica En un sistema mal condicionado la norma del residuo puede no ser una buena medida de la norma del error.

5 Número de condición de una matriz
Sistema mal condicionado : Solución mala y residuo pequeño. Número de condición de una matriz A, K(A) y teorema de acotación del error relativo : Demostrar en la pizarra el teorema de acotación. Utilizar con mathematica los comandos VectorNorm, MatrixNorm y MatrixConditionNumber

6 Método de Jacobi. Ejemplo: Hacer ejemplo con mathematica

7 Método de Jacobi: Formulación general.
Hacer ejemplo con mathematica

8 Método de Gauss-Seidel
Ejemplo: Hacer ejemplo con mathematica

9 Método de Gauss-Seidel
Formulación general: Hacer ejemplo con mathematica

10 Convergencia de los métodos iterativos
El error de redondeo no tiene tanta importancia como en los métodos directos. Los métodos iterativos son adecuados para grandes sistemas con matriz de coef. Dispersa. Siempre se obtiene la sol. Aprox. Criterio de parada T : Matriz de paso, y c : vector corrector Parten de una aproximación inicial : x(0) El método converge si:

11 Convergencia de los métodos iterativos

12 Matriz de paso del método de Jacobi

13 Matriz de paso del método de Gauss-Seidel
Si A es estrictamente diagonal dominante los mdos. De Jacobi y Gauss-Seidel convergen. Si A es definida positiva Gauss-Seidel converge. En general Gauss-Seidel converge más rápido que Jacobi

14 Método de Newton para sistemas no lineales(1)

15 Método de Newton para sistemas no lineales(2)

16 Esquema del método de Newton