Tema 4 : Cálculo de raíces de ecuaciones no lineales

Presentación del tema: "Tema 4 : Cálculo de raíces de ecuaciones no lineales"— Transcripción de la presentación:

1 Tema 4 : Cálculo de raíces de ecuaciones no lineales
Índice Método Bisección. Método de Falsa Posición. Método del punto fijo. Método de Newton-Raphson. Aprox. Inicial y criterios de convergencia.

2 Método Bisección (1) Fin No Si

3 Método Bisección (2) Convergencia
Sea f una función cont. en [a,b] , {cn } la sucesión de puntos medios generada mediante el mtdo. Bisección y r la raíz de f en [a,b], entonces El número N de bisecciones sucesivas que nos garantiza que el punto medio cN es una aproximación a un cero con un error menor que un valor prefijado d es - Una de las ventajas del mtdo. De la bisección es que permite estimar el nº de iteraciones necesarias para obtener la raiz con una precisión determin. Demostrar expr. En la pizarra.

4 Método Falsa Posición Cálculo de la sucesión que converge a la raiz:
- Aunque la amplitud del intervalo se hace cada vez más pequeña, puede ocurrir que no tienda a cero. Si la curva es convexa cerca de la raíz r entonces uno de los extremos se hace estacionario y el otro tiende a la solución. Por este motivo el criterio de parada |b‑a| <  , puede no ser ser adecuado. En su lugar se utilizan el valor de f(cn) y la proximidad entre las dos últimas aproximaciones. Criterios de parada: |cn‑cn-1| <  , o |f(cn) |< 

5 Método del Punto Fijo(1)
Un punto fijo de una función g, es un valor P/ P=g(P). La iteración pn = g(pn-1), se denomina iteración de punto fijo. Para resolver : x=g(x) , se construye, partiendo de una aprox. inicial, x0 , la sucesión : {xn = g(xn-1)}. Si esta sucesión converge tiene como límite la raíz de la ec. Tma. del punto fijo: Sea gC[a,b], se puede demostrar que: 1º Si g(x)[a,b] x[a,b], entonces g tiene al menos un punto fijo P en [a,b]. 2º Si además g'(x) está definida en (a,b) y  K<1 tal que |g'(x)|  K x(a,b), entonces dicho punto P es el único punto fijo de g en [a,b], y la sucesión {pn} construida a partir de cualquier p0 perteneciente al intervalo [a,b] converge a P. - Enunciar y repasar el tma. del valor medio previamente. A continuación demostrar sobre las figuras el tma. Del punto fijo.

6 Método del Punto Fijo(2)
Si g verifica todas las hipótesis del Teorema del punto fijo , entonces las siguientes desigualdades proporcionan cotas del error que se comete cuando usamos pn como aproximación a P (para todo n  1):

7 Convergencia de los métodos iterativos
Sea {pn} una sucesión que converge a P, y En= P-pn|. Si  A>0 y R>0, tales que : Entonces se dice que la sucesión converge a P con orden de convergencia R, y el número A se llama constante asintótica del error. R = 1 : Convergencia lineal. R = 2 : Convergencia cuadrática. En general una convergencia de orden alto es más rápida que una de orden bajo. La constante asintótica de error afecta a la velocidad pero no es tan importante como el orden de convergencia Convergencia del método de punto fijo: Si g’(P)  0 , convergencia lineal. Si g’(P) = 0, y g’’(P)  0, convergencia cuadrática

8 Análisis del error para los métodos iterativos
Orden de convergencia de la sucesión que se obtiene mediante la iteración de punto fijo: x=g(x), P=g(P) 1º g’(P)0 Aplicando el teorema del valor medio en [pn,P] 2º g’(P)=0 , y g’’(P) 0

9 Orden de multiplicidad de una raíz
Raíz simple. P es una raíz simple de f(x)=0 , si f(P) = 0 y f’(P)   f(x) = (x-P).q(x) , con q(P) 0 Raíz múltiple. P es una raíz múltiple, de orden m de f(x), si f(P) = f’(P) =…= fm-1)(0)= 0 , y fm)(P)  0  f(x) = (x-P) m .q(x) , con q(P) 0 Si x es una raíz de orden m de f(x), entonces es una raíz de orden m-1 de f’(x), y una raiz simple de f(x) / f ‘ (x).

10 Método de Newton-Raphson (1)

11 Método de Newton-Raphson (2)
Teorema de Newton-Raphson. Supongamos que la función f  C2[a,b] y que existe un número p  [a,b] tal que f(p) = 0. Si f ‘ (p)  0, entonces existe d > 0 tal que la sucesión definida por el proceso iterativo converge a p cualquiera que sea la aproximación inicial p0  [p-d , p+d  ]. Convergencia del método de Newton-Raphson. Si p es una raíz simple, entonces la convergencia es cuadrática - La demostración del tma. De Newton-Raphson se reduce a un caso particular de punto fijo con g(x)=x-f(x)/f’(x) . Para que g’(x) sea continua se necesita la cont. de f’’ ].(está en los apuntes) - Fácilmente se ve que g’(P)=0, converg.cuadrática.

12 Método de Newton-Raphson (3) Inconvenientes y dificultades.
Convergencia del mdo. de Newton-Raphson. Si P es una raiz simple, la convergencia es cuadrática. Si P es una raiz múltiple de orden M, la convergencia es lineal. Se puede recuperar la convergencia cuadrática del mdo. De Newton-Raphson en el caso de una raíz simple: Se puede producir error si f’(x) = 0. Si la aprox. inicial p0 está demasiado lejos de p, la sucesión {pk} puede ir a otra raíz; esto suele ocurrir cuando la pendiente f '(p0) es pequeña y la recta tangente a la curva y = f(x) es casi horizontal. Puede ocurrir que la sucesión que se va construyendo sea divergente, y que, después de N iteraciones no se tenga la solución. Conviene establecer un número máximo de iteraciones a realizar. Demostrar g’(p) para Newton-Raphson en el caso de una raiz simple y una múltiple.

13 Método de la Secante Para evitar la evaluación de f(xk) y de f ‘(xk) en el método de Newton, En cada paso sólo hace falta la evaluación de f(pk) El orden de convergencia del mdo. es R = 1.618

14 Aproximación inicial y criterios de convergencia de los métodos iterativos
Conviene hacer una representación gráfica. Criterios de parada más utilizados: |f(pn)| < . Útil para resolver ec. de la forma h(x) = L aplicando el algoritmo a f(x) = h(x)–L. Proximidad entre las dos últimas aproximaciones: En términos absolutos En términos relativos

15 Convergencia del método de Newton-Raphson : xn+1=xn-f(xn)/f’(xn)=g(xx) , g(x) = x - f(x)/f’(x)
1º.- P raíz simple de f(x)=0 La convergencia es al menos cuadrática 2º.- P raíz de orden m de f(x) La convergencia en este caso es lineal. Se puede recuperar el carácter cuadrático de la convergencia modificando la función de iteración: g(x) = x-m.f(x)/f’(x)

16 Ejercicio nº 9

17 Ejercicio nº 9

18 Ejercicio: Resolver la ec
Ejercicio: Resolver la ec. X3+4x2-10=0 con distintas funciones de iteración. Sí cumple la 1ª condición: para todo x [1,2],g(x) [1,2]. Verificamos la 2ª : Abs[g'[x]]<1 para todo x [1,2]. No cumple la 1ªcondición : para todo x[1,2] , g(x) [1,2]